Lec 1. Complex Number

본 게시물은 University of Arizona의 Prof. J. Scott Tyo의 OPTI512R 강의를 보고 정리한 내용입니다.
전공자가 아닌 만큼 부정확한 정보가 포함되어 있을 수 있습니다.
부정확한 정보가 있다면 알려주시면 감사하겠습니다.

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Complex Number

Complex Number(복소수)는 Real Number(실수)와 Imaginary Number(허수)의 합의 꼴로 나타나는 수이다.

물리량을 표현하는데 Real Number만을 사용하는 것보다, Complex Number를 활용하는 것이 많은 Application에서 훨씬 쉽고 효율적이다. Real Number System에서는 Root, Logarithm, Trigonometrical function 등의 function에서 arugment로 negative number를 사용하는 것이 불가능했지만, Complex Number System에서는 이러한 제한이 사라져, Real Number 전체 범위에서 이러한 function을 정의하는 것이 가능해진다.

 

위에서도 말했다시피 Complex Number는 Real part와 Imaginary Part의 합의 꼴로 구성된다. 이때 Imaginary part는 $x^2 = -1$의 해인 Imaginary Unit $ i, j $(수학에서는 $i$, 공학에서는 $j$를 사용)를 Real Number와 곱하여 표현한다.

즉, Complex Number는 $ u = v + jw \;(v = Re[u],\;w=IM[u])$와 같은 형태를 가진다.

 

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Representation of Complex Number

Complex Number를 시각적으로 표현하는 방법에는 크게 두 가지의 방법이 있다.

1. Complex Plane(복소평면)

Cartesian Coordinate와 마찬가지로 $x$와 $y$ 두 개의 Axis를 이용하여 위치를 표현하는 방식이다.

다만 $x\;axis$는 Real Number를, $y\;axis$는 Imaginary Number를 표현한다는 점에서 차이점을 보인다.

Complex Plane의 순서를 가지는 한 쌍의 수 $(x,y)$는 Coordinate systsem위의 한 점을 나타내고, $x$는 Complex Number의 Real number, $y$는 Imaginary number를 표현한다.

 

앞서 살펴본 Complex Number $u = v + jw$를 Complex Plane 상에 표현하면 다음과 같다.

2. Polar Coordinate system(극좌표계)

Pole(극점)이라 부르는 기준점으로부터의 거리, 그리고 Pole을 지나는 기준선에 대한 각도로 위치를 표현하는 방식이다.

Pole을 $O$, 좌표를 $P$라고 할 때 P는 다음의 순서쌍 $P(r, \theta)$으로 표현된다. 이때, r은 $\bar{OP}$의 길이이고, $\theta$는 $\bar{OP}$와 $polar axis$가 이루는 각도를 의미한다. 

 

앞서 살펴본 Complex Number $u = v + jw$를 Polar Coordinate system 상에 표현하려면 두 가지의 정보가 필요하다.

1) Pole $O$로 부터 $u$ 까지의 거리는 Complex Number $u = v + jw$의 크기로 표현될 수 있다.

이때 $u = v + jw$의 크기 $r = \rvert{u}\lvert = \sqrt{v^2 + w^2}$이다.

2) Pole axis와 $\bar{Ou}$가 이루는 각도는 $\theta or \phi = \angle u = \arctan{w \over v}$이다.

 

이 두 가지 정보를 활용하여 Polar Coordinate System에 $u = v + jw$를 표현하면 다음과 같다.

 

 

 

 

이때 $v = \rvert u \lvert \cos\phi\; w = \rvert u \lvert \sin\phi$로 표현될 수 있다.

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Euler's Formula

Euler's Forumla는 Complex Number를 Trigonometrical function으로, 혹은 그 반대로 표현하는데 매우 유용한 Formula이다. 특히 Complex Number의 Multiplication 혹은 Division 연산을 간소화하는데 큰 도움이 된다.

수식으로는 아래와 같이 표현된다. $$e^{j\phi} = \cos{\phi} + j\sin{\phi}$$

 

$u = v + jw$는 오일러 공식을 통해 다음과 같이 변형될 수 있다.

$u = v + jw = rvert u \lvert \cos\phi\ + j\rvert u \lvert \sin\phi \\=\rvert u \lvert (\cos\phi +j\sin\phi)  = \rvert u \lvert e^{j\phi}$

 

 

Arithmetics in Complex Number

$u_1 = v_1 + jw_1$, $u_2 = v_2 + jw_2$ 일 때

1) Addition, Substraction

Addition : $u_1 + u_2 = v_1+v_2 + j(w_1 + w_2)$

Substraction : $u_1 + u_2 = v_1+v_2 + j(w_1 + w_2)$

2) Multiplication

Complex Number의 Multiplication부터는 Cartesian Form과 Polar Form 두 가지 표현법으로 연산이 가능하다.

Cartesian Form : $u_1u_2 = v_1v_2 - w_1w_2 +j{v_1w_2 + v_2w_1}$

Polar From : $u_1u_2 = \rvert u_1 \lvert e^{j\phi_1} \rvert u_2 \lvert e^{j\phi_2} = \rvert u_1u_2 \lvert e^{j(\phi_1 + \phi_2)}$

결과로 볼 수 있다시피, Euler's Formula를 활용하여 Polar Form으로 표현된 상태에서의 연산이 간단한 것을 확인 할 수 있다.

3) Division

Cartesian Form : ${u_1 \over u_2} = {{(v_1 +jw_1)(v_2-jw_2)} \over {(v_2 +jw_2)(v_2-jw_2)}} = {{u_1u_2^*} \over {u_2u_2^*}} = {{u_1u^*_2} \over {\rvert u_2 \lvert^2}}(u_2u_2^* = \rvert u_2 \lvert e^{j\phi_2}\rvert u_2 \lvert e^{-j\phi_2} = \rvert u_2 \lvert^2)$

Polar Form : ${u_1 \over u_2} = {{\rvert u_1 \lvert e^{j\phi_1}}\over{\rvert u_2 \lvert e^{j\phi_2}}} = \rvert {u_1 \over u_2} \lvert e^{j(\phi_1 - \phi_2)}$

4) Power

Cartesian Form : $(u)^n = (v + jw)^n$

Polar Form : $(u)^n=[\rvert u \lvert e^{j\phi}]^n = \rvert u \lvert^n e^{jn\phi}$

 

Cartesian Form 형식에서 Power 연산은 차수가 늘어나면 날수록 연산의 복잡도와 난이도가 급증한다. 

Euler's Formula를 활용하여 Polar Form으로 변형하여 연산을 진행하는 것이 효율적이다.

5) Root

Carteisian Form : Power 연산과 마찬가지로 가능하긴 하나, 연산의 복잡도가 매우 높다.

Polar Form : $(u)^{1\over n} = [\rvert u \lvert e^{j\phi}]^{1 \over n} = [\rvert u \lvert e^{j\phi + 2k\pi}]^{1 \over n} = {\rvert u \lvert ^ {1 \over n} e^{j{\phi \over n}+{2k\pi \over n}}}$

 

또한 주의 할 점은 Root 연산의 경우 여러개의 해가 발생한다는 점이다. $(u)^{1 \over n}$의 경우 $n = 0\;...\;n-1$까지 n개의 해를 가지게 된다.

 

이는 Cartesian Coordinate system 혹은 Complex Plane에서의 특정한 Coordinate $(x,y)$는 Polar Coordinate System에서는 Polar system으로의 변환에서 사용되는 Trigonometrical function의 주기성으로 인해 다양한 $(r, \theta)$로 표현될 수 있기 때문이다.

 

6) Additional Operations

1) $\rvert u_1u_2 \lvert = \rvert u_1 \lvert\rvert u_2 \lvert$

2) $\rvert {u_1 \over u_2} \lvert = {{\rvert u_1 \lvert} \over {\rvert u_2 \lvert}}$

3) $\angle {u_1 \over u_2} = \phi_1 - \phi_2$

 

 

Phasor

Phasor는 Euler's Formula를 활용하여, 시간에 대해 Amplitude, Phase, Period가 불변인 Sinusodial Function을 표현하는 방법이다. Phasor를 이용하여, Complex Plane 상의 Real Number Value $\cos\theta$와 Imaginary Number Value $\sin\theta$의 연산을 복잡한 Trigonometrical function의 연산이 아닌 간단한 연산으로 대체할 수 있다.

 

다음의 두 Function의 Additional 연산을 Phasor의 적용과 미적용 한 예시로 직접 알아보도록 하자

 

$$f(x)_1 = \cos{(2\pi\xi x + \phi_1)} \; f(x)_2 = \sin{(2\pi\xi x + \phi_2)}\;\;(\xi\;is\;freqeuncy)$$

 

Phasor를 사용하지 않고 $f(x)_1$과 $f(x)_2$를 더하는 연산은 아래와 같다.

 

$$f(x)_1 + f(x)_2 = \cos{(2\pi\xi x + \phi_1)} + \cos{(2\pi\xi x + \phi_2)} \\= \cos{(2\pi\xi x)}\cos{(\phi_1)} - \sin{(2\pi\xi x)}\sin{(\phi_1)} + \cos{(2\pi\xi x)}\cos{(\phi_2)} - \sin{(2\pi\xi x)}\sin{(\phi_2)} \\= \cos{(2\pi \xi x)}(\cos(\phi_1) + \cos(\phi_2)) - \sin(2\pi\xi x)(\sin(\phi_1) + \sin(\phi_2)) \\ let\,(\cos(\phi_1) + \cos(\phi_2))\,as\,A\,and\,(\sin(\phi_1) + \sin(\phi_2))\,as\,B \\ = \sqrt{A^2 + B^2}[{A \over \sqrt{A^2+B^2}}\cos(2\pi\xi x) - {B \over \sqrt{A^2+B^2}}\sin(2\pi\xi x)] \\ As\; {A^2 \over {A^2 + B^2}} + {B^2 \over {A^2 + B^2}} = 1\; Let\; {A^2 \over {A^2 + B^2}} = \cos\theta^2\;and\;{B^2 \over {A^2 + B^2}} = \sin\theta^2 \\ ths \; f(x)_1 + f(x)_2 = \sqrt{A^2 + B^2}[\cos\theta\cos(2\pi\xi x) - \sin\theta\sin(2\pi\xi x)] = \sqrt{A^2 + B^2}\cos(2\pi\xi x + \theta)$$

 

Phasor를 적용시킬 경우 연산은 아래와 같이 단순해진다.

 

$$f(x)_1 = \cos(2\pi \xi x + \phi_1) = Re[e^{j2\pi\xi x}e^{j\phi_1}]\;f(x)_2 = \cos(2\pi \xi x + \phi_2) = Re[e^{j2\pi\xi x}e^{j\phi_2}]\\f(x)_1 + f(x)_2 = Re[e^{j2\pi\xi x}[e^{j\phi_1} + e^{j\phi_2}]]$$