Lec 2. Special Function

본 게시물은 University of Arizona의 Prof. J. Scott Tyo의 OPTI512R 강의를 보고 정리한 내용입니다.
전공자가 아닌 만큼 부정확한 정보가 포함되어 있을 수 있습니다.
부정확한 정보가 있다면 알려주시면 감사하겠습니다.

---

Special Function

Transcendental Function(초월함수)는 Analysis, Calculus에서 Algebric function(Polynomial Function이 포함된 Polynomial Expression의 근으로 나타 낼 수 있는 Function)이 아닌 Function을 일컫는 용어이다. Special Funciton은 Transcendental Function들 중 중요하게 다루어지는 몇몇 Function들을 일컫는 용어로, 본 Lecture에서는 Signal Processing, Optics, Imaging에서 자주 활용되는 Special Function들을 다룰 것이다.

 

---

Function Shifting & Scaling

$f(x) = e^{-\pi x^2}$라고 할 때
Function Shifting : $g(x) = f(x+a)\;(a > 1)$이면 $g(x)$는 $f(x)$를 $a$ 만큼 왼쪽으로 이동(a가 Negative일 경우 Absolute value만큼 오른쪽으로 이동)

Function scaling : $g(x) = f(ax)$이면 $g(x)$는 $a$의 Absolute value가 클수록 폭이 좁아짐

---

Heaviside Step Function(Unit Step Function)

Heaviside Step Function은 계단 형태를 가진 함수로, Unit Step Function이라고 불리기도 한다.

식은 아래와 같다.

$$u(x) = \begin{cases}0 & x < 0\\1\over2 & x = 0 \\1 & x > 1\end{cases}$$

아래는 Heaviside Step Function의 Graph를 나타낸 것이다.

Heaviside Step Function은 수학자마다 $u(0)$에 대한 정의가 다르다.

$u(0) = {1\over2},\;u(0) = 0,u(0) = 1$ 세 가지의 의견이 있으나 본 강의에서는 기본적으로 $u(0) = {1\over2}$라고 정의한다.

 

Periodic Function의 음수 값을 무시해야 하는 경우에 Periodic Function과 곱하여 사용하게 된다.

Periodic Function 중 하나인 $\cos(2\pi x)$에 Step Function을 곱하여 Negative 한 $x$ 값을 가지는 범위의 값을 $0$으로 만든 결과이다.(시각적 구분을 위해 y axis 방향으로 +2 만큼 shifting 하였다.)

---

Sign(um) Function

Sign Function은 어떤 Real Number의 Sign을 출력하는 Function이다. $\sin$ Function과의 혼동을 피하기 위해 Signum function이라는 별칭을 사용한다.

 

기호로는 $sgn\;x$라고 쓰며 정의는 아래와 같다.

$$sgn x = \begin{cases}{x \over{\rvert x \lvert}} & if\;x \neq 0\\ 0 & if\;x = 0 \end{cases}$$

 

구체적인 값은 아래와 같다.

$$sgn x = \begin{cases}-1 & if\;x < 0\\0 & if\;x = 0 \\1 & if\;x > 1\end{cases}$$

 

아래는 Sign Function의 Graph를 나타낸 것이다.

 

앞서 다룬 Heaviside Step Function은 Sign Function을 활용하여 얻을 수 있다. $u(x) = {1\over2} (sgn\;x + 1)$

---

Ramp Function

Ramp Function은 Ramp(발판, 장애인용 경사로와 유사함) 형태의 Graph를 그리는 Function으로, $x < 0$ 구간에서는 함숫값이 모두 $0$이고, $x \geq 0$ 구간에서는 $y=x$와 동일한 함숫값을 가지는 Function이다.

 

Ramp Function의 정의는 아래와 같다.

$$R(x) = \begin{cases} 0 & if\;x < 0\\ x & if\;x \geq 0 \end{cases}$$

$$R(x) = {x\over2}(sgn\;(x) + 1) = {{\rvert x \lvert + x} \over 2}$$

 

Ramp Function은 Step Function을 Integrate 하여 얻을 수 있다.

 

$$R(x) = \int^x_{-\infty} step(\alpha) \;d\alpha$$

 

아래는 Ramp Function의 Graph이다. 

---

Pulse Function

Pulse는 Signal Processing에서 baseline보다 높거나, 더 낮은 값으로 signal의 amplitude가 빠르게 일시적으로 변경된 다음 다시 baseline으로 돌아오는 것을 의미한다. Pulse는 Pulse-shaping이라는 process를 통해 다양한 shape를 가지게 되고, 각각의 응용분야에 맞게 최적의 shape를 선택해서 사용한다. 지금부터 다양한 Shape의 Pulse Function과 그 특성에 대해 알아보자.

Rectangular Function

Rectangular Pulse Function은 Slit이나 Rectangular apeature와 같은 Optic에서 발생하는 여러 Physical process를 근사화하는 데 사용되고, 아래와 같은 식을 가진다.

 

$$rect(x) = step(x+{1\over2}) - step(x-{1\over2})$$

 

$$rect(x) = \begin{cases} 0 & if\;\rvert x \lvert > {1\over 2}\\ {1\over 2} & if\;\rvert x \lvert = {1\over2} \\ 1 & if\;\rvert x \lvert < {1\over2}\end{cases}$$

 

아래는 Rectangular Function의 Graph이다.

 

Rectangular Function의 $x\;axis$와 Graph사이의 면적은 다음과 같다.

$$A =  \int^\infty_{-\infty} rect({{x-x_0}\over a}) dx = \rvert a \lvert$$

---

Triangular Function

Triangular Pulse Function은 Rectangular Pulse Function과 달리 Argument의 모든 값에 대해 연속적인 Pulse를 생성한다, 아래와 같은 식을 가진다.

$$tri(x) = \begin{cases} 0 & if\;x < -1\\ 1+x & if\; -1 < x < 0 \\ 1-x & if\;0 < x < 1\end{cases}$$

 

아래는 Triangular Function의 Graph이다.

Triangular Function의 $x\;axis$와 Graph사이의 면적은 다음과 같다.

$$A =  \int^\infty_{-\infty} tri({{x-x_0}\over a}) dx = \rvert a \lvert$$

---

Sinc Function

Sinc Function은 $\sin$ Function과 그 변수의 비로 나타내지는 Function으로, Signal processing 및 Diffraction에서 굉장히 중요한 역할을 하고, 아래와 같은 식을 가진다.

 $$sinc(x) = {sin(\pi x) \over {\pi x}}$$

 

아래는 Sinc Function의 Graph이다.

Sinc Function의 $x = 0$일 때의 함숫값은 $0 \over 0$이기 정의할 수 없지만, $\lim_{x\to0} {\sin(x) \over x} = 1$이기 때문에 1로 정의된다. $sinc(0) = 1$에 대한 증명은 함수의 극한 및 Taylor Series로 증명될 수 있다. 

 

또한 Rectangular Function에 추후에 학습할 Fourier Transform을 적용시키면 Sinc Function을 얻을 수 있다.

 

$$\int^\infty_\infty rect(x)e^{-\pi i\xi x} dx = {sin(\pi\xi) \over {\pi\xi}}$$

 

Sinc Function의 $x\;axis$와 Graph사이의 면적은 다음과 같다.

$$A =  \int^\infty_{-\infty} sinc({{x-x_0}\over a}) dx = \rvert a \lvert$$

---

Gaussian Function

일반적으로 Gaussian Function은 Normal Distribution Function을 의미하지만, 본 강의에서는 Gaussian Function을 다음과 같이 정의한다.

 

$$Gaus(x) = e^{-\pi x^2}$$

 

Gaussian Function의 Graph는 다음과 같다.

 

Gaussian Function의 $x\;axis$와 Graph사이의 면적은 다음과 같다.

$$A =  \int^\infty_{-\infty} Gaus({{x-x_0}\over a}) = \rvert a \lvert$$

 

---

Impulse Function

지금까지 살펴본 Rectangular, Triangular, Sinc, Gaussian과 같은 Pulse Function들에 대해 살펴보았다. 이러한 Pulse Function들의 Graph를 한 번에 나타내면 다음과 같다.

이러한 Pulse Function들은 모두 다른 너비, 0의 개수를 가지고 있지만, 하나의 중요한 공통점을 가지고 있다.

바로 Integrated Area의 면적이 $\rvert  b \lvert$라는 것이다. 이 공통점이 어떻게 활용되는지 알아보도록 하기 위해서는 아래의 예시가 필요하다.

위 Image는 $f(x) = {1 \over {\rvert b \lvert}}sinc({x \over b})$의 Graph를 b의 값을 scaling 하여 나타낸 것이다. 앞서 살펴보았듯이 Function에 대한 scaling은 1 보다 작은 값이 곱해지면, Function의 너비가 감소하고, 최고 높이는 높아지게 된다. 이때, 곱해지는 값이 0에 가까울수록 더 Function의 너비는 더 얇아지게 되는데 scaling factor를 0으로 근사한다면 어떤 일이 일어날까? 이러한 상황을 Impulse Function 혹은 Dirac Delta Function이라고 불리는 아래의 수식으로 정의할 수 있다.

 

$$\delta(x) = \lim_{b\to0} {1 \over {\rvert b \lvert}} Gaus({x\over b})$$

 

이 $\delta(x)$는 Rect, Tri, Sinc와 같은 같은 Area를 가지는 다른 Pulse Function으로도 정의할 수 있다.(앞으로 편의상 Gaus로 정의한 형태를 사용하도록 하겠다.) 이 함수를 우리는 Generalized Function이라고 한다.

 

$b \to 0$가 되면서 Function의 Width는 0에 수렴하게 되고, 반대로 Peak Height는 $1\over 0$ 즉 $\infty$에 수렴하게 된다.

 

Dirac Delta Function은 Integral Property로 가장 잘 설명되고, 이는 아래와 같다.

 

$$\int^{x_2}_{x_1} f(x)\delta(x-x_0)dx = \begin{cases} f(x_0) & x_1 < x_0 < x_2\\ 0 & else \end{cases}$$

 

이는 $\delta(x)$가 어떤 Pulse Function이 되더라도 상관이 없음을 보이며, Sifting property가 중요하다는 것을 의미한다. 이것은 추후에 학습할 Linear System에서 매우 중요한 역할을 한다.

 

$\delta-$Function 또한 이전에 다루었던 Special Function들처럼, Scaling과 Shifting이 가능하다. 다만 $\delta-$Function은 Generalized Function이기 때문에 기존의 Speical Function들과 조금 다른 점을 가지고 있다.

 

$$\int^{\infty}_{-\infty} f(x) \delta({{x-x_0}\over b})\; dx = \rvert b \lvert \int^{\infty}_{-\infty} f(bu) \delta(u-{x_0 \over b})\; du = \rvert b \lvert f(x_0)$$

 

이를 통해 우리는 $\delta({x \over b}) = \rvert b \lvert \delta(x)$라고 말할 수 있다.

 

Dirac Delta Function의 속성은 아래와 같다.

 

1. Definition

$$\delta(x-x_0) = 0\;for\;x\neq x_0 \\ \int^{\infty}_{-\infty} f(x)\delta(x-x_0) dx = f(x_0)$$

 

앞서 다룬 Sifting이 위 속성을 의미한다.

2. Scaling Property

 

$$\delta({{x-x_0}\over b}) = \rvert b \lvert \delta(x-x_0) \\ \delta(ax-x_0) = {1 \over {\rvert a \lvert}}\delta(x - {{x_0}\over a}) \\ \delta(-x+x_0) = \delta(x - x_0) \\ \delta(-x) = \delta(x)$$

 

$\delta-$ Function은 Scaling에 대해 Scaling Factor의 Invert에 대한 Absolute value를 Function 밖으로 빼낼 수 있다. 이 성질 때문에 $\delta-$Function은 Even Function이다.

 

3. Product with $\delta-$Function

 

$$f(x)\delta(x - x_0) = f(x_0)\delta(x-x_0) \\ x\delta(x - x_0) = {x_0}\delta(x-x_0) \\ \delta(x)\delta(x - x_0) = 0(x_0 \neq 0) \\ \delta(x - x_0)\delta(x - x_0) = not\;defined$$

 

$\delta-$Function은 다른 Function과 Multiply 될 때 결과가 Multiply 되는 Function의 value로 wegith가 부여된 $\delta-$Function이 된다는 것을 알 수 있다. 이러한 특성은 추후에 다룰 Sampling과 Diffraction에서 중요하게 다루어진다.

 

4. Integral Property

 

$$\int^{\infty}_{-\infty} A\delta(x-x_0)dx= A \\ \int^{\infty}_{-\infty} \delta(x-x_0)dx = 1 \\ \int^{\infty}_{-\infty} \delta(x-x_0)\delta(x-x')dx = \delta(x'-x_0)$$

 

---

Dirac Comb Function

앞으로 사용하게 될 다양한 Application들에서 균일한 간격을 가진 $\delta-$Function array를 가지는 것은 상당히 유용하다. 이러한 Array를 만드는 Function을 Comb라고 하고, 다음과 같이 정의된다.

 

$$comb(x) = \sum^\infty_{n=-\infty} \delta(x-n)$$

 

만약 간격의 value가 Integer가 아니라 다른 값을 원한다면, $\delta-$Function의 Scaling property를 활용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

$$comb({x\over b}) = \rvert b \lvert \sum^\infty_{n=-\infty} \delta(x-nb)$$

 

이러한 $\delta-$Function들은 각각 $\rvert b \lvert$의 Area를 가지도록 $b$에 의해 구분된다.

$$f(x)[{1\over{\rvert b \lvert}} comb({x\over b})]= \sum^\infty_{n=-\infty} f(nb)\delta(x-nb)$$

 

---

Differentiation and Integration of $\delta(x)$

$u(x) = \int^x_{-\infty} \delta(x') dx' = \begin{cases}0 & x < 0\\1 & x > 0\end{cases}$라는 Function이 있을 때, 이 Function이 Heaviside Step Function임은 쉽게 알 수 있다. 따라서 $\delta(x) = {d \over {dx}} step(x)$임을 알 수 있다.

 

Integration의 관점에서 이 Function의 Property는 다음과 같이 정의되고 이를 Doublet Function이라고 한다.

 

$$\int^\infty_{-\infty} f(x)\delta'(x-x_0) dx = [\delta(x)f(x)]^{\infty}_{-\infty} - \int^\infty_{-\infty} f'(x)\delta(x-x_0) dx = -\int^\infty_{-\infty} f'(x)\delta(x-x_0)dx = -f(x_0)$$

 

Doublet Function은 원하는 만큼 반복이 가능하며 $n$번 반복한 Doublet Function은 다음과 같은 식을 가진다.

 

$$\int^\infty_{-\infty} f(x)\delta^{(n)}(x-x_0) dx = (-1)^nf^{(n)}(x_0)$$

 

이때 $f(x)^{(n)}$은 $f(x)$의 n 번째 derivative를 나타낸다.