Lec 6. The Fourier Transform and its Properties

본 게시물은 University of Arizona의 Prof. J. Scott Tyo의 OPTI512R 강의를 보고 정리한 내용입니다.
전공자가 아닌 만큼 부정확한 정보가 포함되어 있을 수 있습니다.
부정확한 정보가 있다면 알려주시면 감사하겠습니다.

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Definition of the Fourier Transform

앞선 강의들에서 Fourier Series와 Fourier Integral에 대해 학습하였다. Fourier Integral에는 여러 Form이 존재하지만, Fourier Transform이 가장 자주 사용된다. 임의의 Complex-Value function $f(x)$가 주어지면 Fourier Transform $F(\xi)$는 다음과 같이 정의된다.

 

$$F(\xi) = \int^\infty_{-\infty} f(x)e^{-j2\pi \xi x} dx$$

 

Fourier Transform은 $x$와 $\xi$ 두 개의 Variable pair로 구성되어 있다. 이때 주의할 점은 $x$는 하나의 unit(length)의 set을 가지고, $\xi$는 reciprocal unit(Inverse length or spatial frequency)를 가진다는 점이다. 우리는 Function $f(x)$와 $F(\xi)$를 Fouriertransform Pair라고 부른다

 

Fourier Transform이 존재한다는 것이 보장되려면, 다음의 Condition들이 충족되어야 한다.

 

1. Function은 Finite 한 Number의 Maxima와 Minima를 임의의 Finite interval $\left[ a,b \right]$ 사이에서 가진다.

2. Function은 반드시 Finite한 Number의 Finite Discontinuity를 가져야 하고, Finite Interval $\left[ a,b \right]$ 사이에서 Infinite Discontinuity를 가지지 않아야 한다.

3. Function은 반드시 Integral 가능해야 한다. $\int^\infty_{-\infty} |f(x)| dx < \infty$

 

이러한 Condition들이 충족되지 않으면 Fourier transform이 존재한다는 것이 보장되지 않는다.  어떤 경우에는 sine에서의 Fourier transform과 같이 generalized function을 사용해야햐고, 다른 경우에는 Fourier Transform이 계산될 수 있지만, 몇 가지 Property에 주의해야 한다. 이러한 예시들을 앞으로 살펴보게 될 것이다.

 

Fourier Transform을 Operator로 나타내는 데에는 다양한 종류의 Notation이 존재하지만, 일반적으로 다음과 같은 Notation을 사용한다.

 

$$f(x) \leftrightarrow F(\xi) \\ \mathcal{F} \{f(x)\} = F(\xi)$$

 

마찬가지로 우리는 Inverse Fourier Transform $F(\xi)$를 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

$$f(x) = \int^\infty_{-\infty} F(\xi)e^{j2\pi \xi x} d\xi$$

 

Notaional 하게는 다음과 같다.

 

$$\mathcal{F}^{-1} \{F(\xi)\} = f(x)$$

 

Forward Fourier Transform과 Inverse Fourier Transform의 유일한 차이점은 Exponential sign이 반대라는 점뿐이다. Forward와 Inverse Transform 모두 Fourier Integral이지만, sign으로 구분되기에 sign을 구별하는 것이 중요하다.

 

Fourier Transform은 Math, Physics, Electrical Engineering 등 다양한 분야에서 사용된다. 하지만 각 분야에서 사용하는 Fourier Transform의  형태는 조금씩 다르다. 이러한 다양한 형태는 어떤 Variable을 선택하느냐에 따라 달라진다.

Physics에서는 Fourier Transformation Pair는 일반적으로 position $x$와 wavenumber $k = {2\pi \over \lambda}$ 사이에 있다. 엄밀히 말하자면 $k$는 unit length당 radian uint을 가진다.

 

Electrical Engineering에서 Fourier Transform은 일반적으로 시간 $t$와 angular frequency $\omega$ 사이에 있다.

 

하지만 앞서 우리가 정의한 Fourier Transform은 position $x$와 spatial frequency $\xi$ 사이에 있으며, $\xi$는 Angular Frequency가 아니다. $\xi$와 $k$의 관계는 $k = 2\pi \xi$이고, $d\xi ={dk \over 2\pi}$ 이다. 

 

Fourier Transform을 적용한 Function에 Inverse Fourier Tranform을 적용하면 Original Function을 얻을 수 있는데, 이는 다음을 통해 증명된다.

 

$$f(x) = \int^\infty_{-\infty} F(\xi) e^{j2\pi \xi x} d\xi \\ = \int^{\infty}_{\xi = -\infty} [\int^{\infty}_{\alpha = -\infty} f(\alpha)e^{-j2\pi \xi \alpha}d\alpha]e^{j2\pi \xi x} d\xi \\ = \int^{\infty}_{\alpha = -\infty}f(\alpha) [\int^{\infty}_{\xi = -\infty}e^{-j2\pi (\alpha - x)\xi }d\xi ]d\alpha \\ =  \int^{\infty}_{\alpha = -\infty} f(\alpha) \delta(\alpha - x)d\alpha \\ = f(x)$$

 

위 수식에서는 Fourier Transform의 Linearity Property와 $\delta$-funtion의 definition, shifting property를 사용하였다,

Fourier Transform에는 Linearity이 외에도 다양한 Property가 존재하는데 이에 대해 자세히 알아보도록 하자.

 

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Properties of the Fourier Transform

이 Section에서는 Fourier Transform의 몇 가지 중요한 Property를 도출할 것이다. 이러한 모든 Property에 대해 우리는 function $f(x)$와 Fourier Transform $F(\xi)$가 알려져 있다고 가정할 것이다.

 

1. Positive and Negative Arguments

다음과 같이 Positive 및 Negative argument를 사용하여 Function의 Fourier Transform을 계산할 수 있다.

 

$$\mathcal{F}\{f(\pm x)\} = \int^{\infty}_{-\infty} f(\pm x) e^{-j2\pi \xi x} dx \\ = \int^{\infty}_{-\infty}  f(\pm x)  e^{-j 2\pi (\pm \xi) (\pm x)} d(\pm x) \\ = F(\pm \xi)$$

 

$-x$에 대한 Integral 연산은 본래 각 limit의 위치를 바꾸어야 하지만, limit의 sign을 바꾸는 것을 통해 상쇄된다.

2. Fourier Transform of the Complex Conjugate

$f(x)$의 Complex Conjugate에 Fourier Transform을 취하면 다음과 같은 결과를 얻게 된다.

 

$$\mathcal{F}\{f^* (\pm x)\} = \int^{\infty}_{-\infty} f^* (\pm x) e^{-j 2\pi \xi x} dx \\ = [\int^{\infty}_{-\infty} f(\pm x) e^{j2\pi \xi x}dx]^* \\ = [\int^{\infty}_{-\infty} f(\pm x)e^{-j2\pi(\mp \xi)(\pm x)}d(\pm x)]^* \\ = F^* (\mp \xi)$$

 

위 연산에서는 Complex Conjugate와 Fourier Transform의 Linearity를 활용하였다.

3. Fourier Transform of real and Imaginary function

앞서 다룬 Property는 Function의 Transform을 해당 Function의 Conjugate의 Transform과 연관시키는 매우 중요한 Property이다. 우리는 이 Property를 이용하여, purely real function 및 purely imaginary function의 다음 property를 도출해낼 수 있다. $Imf = 0$인 상황을 고려해보자 이때 $f^*(x) = f(x)$가 되고, 다음이 성립한다.

 

$$\mathcal{F} \{f^*(x)\} = \mathcal{F} \{f(x)\} \\ F^*(-\xi) = F(\xi)$$

 

위 수식을 통해 알 수 있는 점은 Real function의 Foureir Transform은 Hermitian Symmetry를 가진다는 것이다. 즉, Fourier Transform의 Real part는 Even function이고, Imaginary part는 Odd function이다.

 

마찬가지로 $Ref(x) = 0$인 경우를 고려해보자. 이때 $f(x) = -f^*(x)$이고, 다음이 성립한다.

 

$$F^*(-\xi) = -F(\xi)$$

 

이는 즉, Imaginary Function의 Fourier Transfrom은 odd function인 Real part와 Even function인 Imaginary part를 가진다는 것이다.

 

4. Fourier Transform of the Fourier Transform

Function $f(x)$의 Fourier transform $F(\xi)$를 알고 있다고 가정하면 다음과 같은 수식을 세울 수 있다.

 

$$f(x) = \int^\infty_{-\infty} F(\xi) e^{j2\pi \xi x} d\xi$$

 

이는 곧 $F(\xi)의$Inverse Fourier Transform이다. 하지만 우리가 관심 있는 것은 $F(\xi)$의 forward Fourier Transform이고, $x$를 argument로 사용하여 다음의 수식을 얻을 수 있다.

 

$$\mathcal{F} (F(x)) = \int ^\infty_{-\infty} F(x) e^{-j2\pi\xi x} dx \\ = \int ^\infty_{-\infty} F(x) e^{j2\pi(-\xi) x} dx$$ \\ = f(-\xi)

 

만약 우리가 $e^{j2\pi \xi_0 x} \leftrightarrow \delta(\xi - \xi_0)$임을 알고 있을 때, $\delta(x-x_0)$의 Fourier transform은 위 Property를 통해 $\mathcal{F} \{\delta(x-x_0)\} = e^{-j2\pi \xi x_0}$임을 알 수 있다. 아래 수식은 $\delta-$function의 property를 이용하여 이를 증명한 것이다.

 

$$\mathcal{F} \{\delta(x-x_0)\} = \int^\infty_{-\infty} \delta(x-x_0) e^{-j2\pi \xi x} dx \\ = e^{-j 2\pi \xi x_0}$$

 

 

 

5. Fourier Transform of a scaled version of the function

우리는 Lec2에서 $f({x \over b})$가 original function $f(x)$를 scale 한 function을 의미한다는 것을 학습하였다. $|b| < 1$인 경우에는 original function 보다 narrow 한 function을, $|b| > 1$인 경우에는 original version보다 stretch 된 function을 제공한다. 이렇게 Scale 된 Function에 Fourier Transform을 적용하면 다음과 같은 결과를 얻게 된다.

 

$$\mathcal{F} \{f({x\over b})\} = \int^\infty_{-\infty} f({x \over b})e^{-j2\pi \xi x} dx \\ = |b|\int^\infty_{-\infty} f({x\over b}) e^{-j 2\ pi (b\xi)({x\over b})} d({x\over b}) \\ = |b| F(b\xi)$$

6. Shifted version of the function

Lec 2에서 function에 대한 Scaling 이외에도 Shifting에 대해서도 학습하였다. $x_0$만큼 Shifting 된 Function $f(x-x_0)$에 Fourier Trasnform을 적용시킨다면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

 

$$\mathcal{F} \{f(x \pm x_0)\} = \int^\infty_{-\infty} e^{-j2\pi \xi x} dx \\ = e^{\pm j 2\pi \xi x_0}  \int^\infty_{-\infty} f(x \pm x_0) e^{- j 2\pi \xi (x \pm x_0)}d(x-x_0) \\ = e^{\pm j 2 \pi \xi x_0} F(\xi)$$

 

$F(\xi) = 1$의 Fourier Transform 결과를 가지는 $f(x) = \delta(x)$은 $\delta(x-x_0) \leftrightarrow e^{-j2\pi \xi x_0}$임을 알려준다.

7. Fourier Transfrom of a Modulated Signal

Amplitude modulation은 Physics의 communication, diffraction 등의 다양한 분야에서 사용되는 Linear system theory의 application이다. Signal $f(x)$가 아래의 수식과 같이 표현되면, Frequency $\xi_0$에서 Carrier wave를 Amplitude modulate 한다고 한다.

 

$$f_{am}(x) = f(x) e^{j 2\pi \xi_0 x}$$

 

Real signal의 경우 positive frequency와 negative frequency를 모두 modulate 해야 하고, AM signal은 다음과 같이 표현된다.

 

$$f_{am}(x) = f(x) \cos{2\pi \xi_0 x-\phi}$$

 

아래 그림은 이러한 Signal의 예들을 나타낸 것이다.

 

 

이처럼 Modulate 된 Signal에 Fourier Transform을 적용하면 다음과 같은 결과를 얻게 된다.

 

$$\mathcal{F} \{f(x)\} = \int^\infty_{-\infty} e^{\pm j2\pi \xi_0 x}e^{-j 2\pi \xi x} dx \\ = \int^\infty_{-\infty} f(x) e^{- j 2\pi (\xi \mp \xi_0)x}dx \\ = F(\xi \mp \xi_0)$$

 

위 수식은 Modulate 된 Signal의 Fourier Transform이 origianl Fourier Trasnform의 replica이며, Carrier Wave frequency $\xi_0$와 동일한 양만큼 Frequency가 이동된 것임을 알려준다.

 

아래 그림은 위 그림에 나타난 Signal에 대한 Fourier Transform 결과를 나타낸 것으로 cosine carrier signal은 $\xi = \pm 3$항이 모두 있기 때문에 Positive carrier frequency 및 Negative carrier Frequency에서 2개의 signal copy가 표시된다. 

8. Fourier transform of periodic function

Periodic Function은 Optics에서 Diffraction grating, Fringe Pattern, Telescope array 등 다양한 Physcial System을 Modeling 하는 데 사용되는 중요한 Function class이다. 이 Section에서는 두 가지 다른 방법을 통해 Periodic Function의 Fourier Transform을 도출할 것이다. 두 방법 모두 동일한 결과를 생성한다.

 

$T$의 Priod를 가지는 Periodic Function $f_p(x) = f_p(x + nT)$가 있다. 편의를 위해 single period $f(x)$만을 표현할 것이며, $f(x) = 0$이 되는 $x$가 $-{T \over 2} < x < {T \over 2}$ 외부에 있다고 가정한다.

 

1. Fourier Trasnform of Periodic functions

우리는 이미 모든 T-Periodic function이 다음과 같은 Fourier series로 작성될 수 있다는 사실을 알고 있다.

 

$$f_p(t) = \sum^\infty_{n = -\infty} c_n e^{j 2\pi \xi_0 x}$$

 

이때 $\xi = {1 \over T}$ 이면,

 

$$c_n = {1 \over T} \int^{T \over 2}_{- {T\over 2}} f_p(x) e^{-j 2\pi n \xi_0 x} dx$$

 

Fourier Transform을 취하면 다음과 같다.

 

$$\mathcal{F} \{f_p(x)\} = \mathcal{F} \{ \sum^{\infty}_{n = -\infty} c_n e^{j2\pi \xi_0 x}\} = \sum^{\infty}_{n = -\infty} =\sum^{\infty}_{n = -\infty} c_n \mathcal{F} \{e^{j2\pi n \xi_0 x}\}$$

 

위 수식의 도출 과정에서 Fourier Transform의 Distributive property가 사용되었다. 또한 우리가 $\mathcal{F} \{ e^{j2 \pi n \xi_0 x}\} = \delta(\xi - \xi_0)$임을 알고 있기 때문에 다음이 성립함을 알 수 있다.

 

$$\mathcal{F} \{f_p(x)\} = \sum^{\infty}_{n = -\infty} c_n \delta(\xi - n\xi_0)$$

 

$c_n$은 Fourier Series의 Coefficient이다.

 

2. Direct Fourier Transform

 

Periodic Function의 Direct Fourier Trasnform 방법에 대해 알아보자.

 

$$\mathcal{F} \{f_p(x)\} = \mathcal{F} \{f(x-nT) =\sum^{\infty}_{n = -\infty} \mathcal{F} \{f(x-nT)\}$$

 

Fourier Transform의 Shifting property를 활용하면 위 수식을 다음과 같이 정리할 수 있다.

 

$$\mathcal{F} \{f_p(x)\} =\sum^{\infty}_{n = -\infty} \mathcal{F}(\xi) e^{j2\pi n T \xi} = F(\xi) \sum^{\infty}_{n = -\infty}e^{j2\pi n ({\xi \over \xi_0})}$$

 

이때 다음의 Series를 comb function으로 대치할 수 있고, 이를 적용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

 

$$comb(x) = \sum^{\infty}_{n = -\infty} e^{j2\pi n x}  \\ \mathcal{F} \{f_p(x)\} = F(\xi)comb({\xi \over \xi_0}) = {1 \over T}F(\xi) \sum^{\infty}_{n = -\infty} \delta(\xi -n\xi_0)$$

 

해당 수식은 $$\mathcal{F} \{f_p(x)\} = \sum^{\infty}_{n = -\infty} c_n \delta(\xi - n\xi_0)$$ 과 같은 수식이기 때문에 다음의 관계가 성립하게 된다.

 

$$c_n = {1 \over T} \mathcal{F} \{f(x)\}$$

 

9. Fourier Transform of a derivative

Fourier Transform pair $f(x) \leftrightarrow F(\xi)$를 알고 있다면, $f'(x) = {df(x) \over dx}$를 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

$$f'(x) = {d \over dx} [\int^\infty_{-\infty} F(\xi) e^{j2\pi \xi x} d\xi] \\ = \int^\infty_{-\infty} (j2\pi \xi)F(\xi) e^{j2\pi \xi x} d\xi \\ = \mathcal{F}^{-1} \{(j2\pi \xi)F(\xi)\}$$

 

위 결과를 얻기 위해, Linearity principle을 적용하여, x에 대한 derivative와 $\xi$에 대한 integral의 derivative의 차수를 교환하였다. 

 

$${{d^k} \over {dx^k}}f(x) = f^{(k)}(x) \leftrightarrow (j2\pi \xi)^k F(\xi)$$

 

다른 domain에서의 증명은 다음과 같다.

 

$$(-j2\pi x)^k  \leftrightarrow F^{(k)}(\xi)$$

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The Basic Fourier Transform Pairs

가장 간단하게 볼 수 있는 function은 다음과 같다.

 

$$\mathcal{F} \{ 1\} = \int^{\infty}_{-\infty} e^{-j 2\pi \xi x} dx = \delta(\xi)$$

Fourier Transform의 Property를 활용하여 위 수식으로부터 아래와 같은 관계를 얻을 수 있다.

 

$$e^{j2\pi \xi_0 x} \leftrightarrow \delta(\xi - \xi_0)  \\ \delta(x) \leftrightarrow 1 \\ \delta(x-x_0)\leftrightarrow e^{-j2\pi \xi x_0} \\ \cos(2 \pi \xi_0 x) \leftrightarrow {1\over 2}(\delta(\xi - \xi_0) + \delta(\xi+\xi_0)) \\ \sin(2\pi \xi_0 x) \leftrightarrow {1 \over 2j} (\delta(\xi - \xi_0) - \delta(\xi+\xi_0))$$

 

이전까지 우리는 이러한 식들을 직접 계산하여 도출하였다. rect function의 Fourier transform은 앞으로 우리가 가장 많이 접하게 될 function 중 하나이다. 다음과 같이 Rect Function의 Fourier Transform을 간소화할 수 있다.

 

$$\mathcal{F} \{rect(x)\} = \int^{\infty}_{-\infty} rect(x)e^{-j2\pi \xi x} dx \\ = \int^{1 \over 2}_{x = - {1\over 2}} e^{-j2\pi \xi x} dx \\ = -{1 \over j2\pi \xi} e^{-j2\pi \xi}|^{1\over2}_{x= - {1\over 2}} \\ = {1\over \pi \xi} {1 \over 2j} (e^{j\pi \xi} - e^{-j\pi \xi}) \\ = {\sin{(\pi \xi)} \over {\pi \xi}} = sinc(\xi)$$

 

또한 Fourier Transform의 Property를 활용하여 다음을 얻을 수 도 있다.

 

$$\mathcal{F} \{sinc(x)\} = rect(-\xi) = rect(\xi)$$

 

많은 Filter들은 Exponential 하게 감소하는 response가 존재한다. 그 예로 우리는 one-sided function인 $f(x) = e^{-x}step(x)$을 고려해보자. 이 function의 Fourier Transform은 다음과 같다.

 

$$\mathcal{F} \{e^{-x}step(x)\} = \int^\infty_{x=0} e^{-x}e^{-j2\pi \xi x} dx \\ = \int^\infty_{x=0} e^{-(1 + j2\pi \xi)x} dx \\ = -{1 \over 1 + j 2\pi \xi} e^{-(1 + j 2\pi \xi)x}|^\infty_{x=0} \\ = {1 \over {1+j2\pi\xi}}$$

 

Fourier transform의 Property를 적용하면 다음과 같은 Corresponding Pair를 얻을 수 있다.

 

$${1 \over {1 - j2\pi x}} \leftrightarrow e^{-\xi} step(\xi)$$

 

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다음은 자주쓰이는 Fourier Transform Pair이다.