Lec 8. Two Dimensional Functions, Convolution, and Fourier Transforms

본 게시물은 University of Arizona의 Prof. J. Scott Tyo의 OPTI512R 강의를 보고 정리한 내용입니다.
전공자가 아닌 만큼 부정확한 정보가 포함되어 있을 수 있습니다.
부정확한 정보가 있다면 알려주시면 감사하겠습니다.

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지금까지 우리는 오직 하나의 Independent variable, 즉 function $f(x)$만을 고려하였다. 하지만 대부분의 Optics에서는 $f(x,y)$와 같은 two spatial variable function을 다루게 된다. 본 강의에서는 주로 $x$와 $y$로 구성된 Rectangular Coordinate와 $g(\rho, \theta)$의 Polar Coordinate를 사용할 것이다. Two spatial Variable을 가지는 Function의 경우 다음과 같이 표현될 수 있을 때 Separable 하다고 하며, 우리는 가능한 한 Separable 한 Coordinate를 파악하기 위해 노력할 것이다.

 

$$f(x,y)  =f_1(x) f_2(y) \\ g(r, \theta) = g_1(r)g_2(\theta)$$

 

Two-Dimensional Special functions in Rectangular Coordinates

1. Two-Dimensional rect function

2-Dimensional rect function은 다음과 같이 정의된다.

 

$$rect({x-x_0 \over b}, {y-y_0 \over d}) = rect({x-x_0 \over b})rect({y-y_0 \over d})$$

 

위 function은 아래와 같이 그려진다.

 

2. Two-Dimensional sinc function

2-Dimensional sinc function은 다음과 같이 정의된다.

 

$$sinc({x-x_0 \over b}, {y-y_0 \over d}) = sinc({x-x_0 \over b})sinc({y-y_0 \over d})$$

 

위 function은 $x_0 = 1$, $b = 1$, $y_0 = 0$, $d = 0.5$일 때 다음과 같이 그려진다.

 

 

3. Two-Dimensional Gaus function

2-Dimensional Gaussian funciton은 다음과 같이 정의된다.

 

$$Gaus({x-x_0 \over b}, {y-y_0 \over d}) = Gaus({x-x_0 \over b})Gaus({y-y_0 \over d})$$

 

위 function은 $x_0 = -0.5$, $b = 2$, $y_0 = 1$, $d = 0.5$일 때 다음과 같이 그려진다.

 

주의해야 할 점은 $b$와 $d$의 값에 따라 Gaussian function의 shape가 달라진다는 점이다. 이는 Cylindrical Coordinate에서 자세하게 다룰 것이다.

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Two-Dimensional Impulse and Comb Function

다른 Special Function들과 마찬가지로, Impulse Function과 Comb Function을 다음과 같은 Separable Function으로 정의할 수 있다.

 

$$\delta(x-x_0, y-y_0) = \delta(x-x_0)\delta(y-y_0) \\ comb(x,y) = comb(x)comb(y)$$

 

2-Dimensional delta function은 다음과 같은 property를 가지고 있다.

 

$$\int\int^\infty_{-\infty} \delta(x-x_0, y-y_0) dxdy = 1 \\ \int\int^\infty_{-\infty} \delta(x-x_0, y-y_0)f(x,y) dxdy = f(x_0, y_0)$$

 

2-Dimensional comb function은 $n$과 $m$이 Integer인 $x = \pm n$ $y = \pm m$에서 일련의 impulse를 생성한다.

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Special Functions in Polar Coordinate

앞서 Rectangular Coordinate에서 Separable 한 Sepcial Function들에 대해 알아보았다. 앞으로 살펴볼 Function들은 Cylindrical Coordinate상에서 Separable하다. 우리가 살펴볼 Function들은 단순히 separable할 뿐만 아니라, Radius가 $\rho$이다. 다만 $g(\rho, \theta) = g_1(\rho)g_2(\theta)$와 같이 Separable한 General function을 더 많이 가질 수 있다.

Cylindrical Coordinate와 Rectangular Coordinate 사이의 Transformation이 다음과 같다는 점을 기억해 두어야 한다.

 

$$r = \sqrt{x^2 + y^2} \\ \theta = \arctan({y\over x}) \\ x = r\cos\theta \\ y = r\sin\theta$$

 

1. Cylinder function

Cylinder function은 open circular aperture의 model이며, 다음과 같이 정의된다.

 

$$cyl() = \begin{cases}0 &r > {1\over2}\\{1\over2} &r = {1\over2} \\ 1 &r < {1\over2}\end{cases}$$

 

Cylinder function은 다음과 같이 그려진다.

 

 

2. Sombrero function

Sombrero function은 Sinc function의 2-dimensional polar coordinate analog이며, 2-Dimensional Fourier Transform에 의해 Cylinder function과 연관성을 가지는 function으로 다음과 같이 정의된다.

 

$$somb(r) = {2J_1(\pi r) \over {\pi r}}$$

 

여기서 $J_1(x)$는 1차 1종 Bessel function이다. Sombrero function은 Circular Aperture를 가지는 System의 Coherent impulse response를 제공하며, 아래 그림과 같이 그려진다.

 

 

3. Two-Dimensional Gaussian in Cylndrical Coordinate

앞서 Rectangular Cooridnate에서의 Gaussian을 정의해 보았다. Gaussian은 Cylindrical Coordinate에서는 Circularly Symmetric 한 $Gaus(\rho)$으로 정의되는데 이는 아래 그림과 같고, Rectangulary Coordinate에서의 Gaussian과는 달리 Azimuthally symmetric 하다.

 

이러한 Symmetry는 아래의 정의에서 쉽게 찾아볼 수 있다.

 

$$Gaus(x,y) = e^{-\pi(x^2 + y^2)} = e^{-\pi r^2}$$

 

4. Two-Dimensional $\delta-$function in Cylindrical Coordinate

Cylindrical Coordiante상에서의 Two-Dimensioanl $\delta-$function은 다음과 같이 정의된다.

 

$$\delta(x-x_0, y-y_0) = \delta(r-r_0){\delta(\theta -\theta_0) \over r_0}$$

 

정의에서 Normalization이 발생하는 이유는 $\phi$ variable의 unit이 length의 unit이 아니기 때문이다.

 

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Two-Dimensional Convolution

One-Dimensional convolution과 마찬가지로, Two-Dimensional Convolution에서도 두 function(각각의 variable을 가지는)을 함께 Convoltuion 할 수 있다. $(x,y)-$plane에 정의된 두 function $f(x,y)$와 $h(x,y)$가 주어졌을 때, 두 Function의 Convolution은 다음과 같이 정의된다.

 

$$g(x,y) = f(x,y) * h(x,y) \\ = \int\int^\infty_{-\infty} f(\alpha, \beta) h(x-\alpha, y-\beta) d\alpha d\beta$$

 

One-Dimensional convolution과 마찬가지로, Function 중 하나를 flip 하고(x, y 모두), shifting, multiply, integrate를 수행한다. Speical case로써, 두 function이 Independent 하게 Separable 한 경우, 즉 $f(x,y) = f_1(x)f_2(y)$이면서 $h(x,y) = h_1(X)h_2(y)$인 경우 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

 

$$f(x,y) * h(x,y) = \int\int^\infty_{-\infty} f_1(\alpha) f_2(\beta) h_1(x-\alpha)h_2(y-\beta) d\alpha d\beta \\ = [\int^\infty_{-\infty} f_1(\alpha) d\alpha][\int^\infty_{-\infty} f_2(\beta) d\beta] \\ = [f_1(x)*h_1(x)][f_2(y)*h_2(y)]$$

 

따라서 이러한 경우에 function의 individual part를 개별적으로 convolution 할 수 있고 그 결과 또한 separable 하다는 것을 알 수 있다.

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Two-Dimensional Fourier Transform In Rectangular Coordinate

Convolution과 마찬가지로 Two-Dimensional Fourier Transform에 대해 알아보도록 하자. Rectangular Coordinate상에서 $f(x,y)$로 표현되는 Function에 대해 Fourier Transform을 수행하려면, 두 개의 Frequency variable, 즉 x-direction의 spatial frequency인 $\xi$와 y-direction의 spatial frequency인 $\eta$가 필요하고, Fourier Transform은 아래와 같이 정의된다.

 

$$\mathcal{F} \{f(x,y)\} = \int\int^\infty_{-\infty} F(\xi, \eta) e^{-j2\pi (\xi x + \eta y)} dxdy$$

 

마찬가지로 Two-Dimensional Inverse Fourier Transform은 다음과 같다.

 

$$f(x,y) = \int\int^\infty_{-\infty} F(\xi, \eta) e^{j2\pi (\xi x + \eta y)} d\xi d\eta$$

 

1. Separable Function

Separable 한 function $f(x,y) = f_1(x)f_2(y)$의 Fourier Transform은 아래와 같다.

 

$$\mathcal{F} \{f(x,y)\} = \int\int^\infty_{-\infty} f_1(x)f_2(y) e^{-j2\pi (\xi x + \eta y)} dxdy \\ = [\int^\infty_{-\infty} f_1(x)e^{-j2\pi \xi x} dx][\int^\infty_{-\infty} f_2(y)e^{-j2\pi \eta y} dy] \\ = F_1(\xi)F_2(\eta)$$

 

이를 통해 Separable 한 function의 Fourier Transform의 결과 또한 Separable 하다는 것을 알 수 있다.

2. Important Example

2.1. Rect and Sinc

Rect function의 Two-Dimensioanl Fourier Transform은 다음과 같다.

 

$$\mathcal{F} \{rect({x-x_0 \over b},{y-y_0 \over d})\} = \mathcal{F} \{rect({x-x_0 \over b})\} \mathcal{F} \{rect({y-y_0 \over d})\} \\ = |bd|e^{-j2\pi \xi x_0} e^{-j2\pi \eta y_0} sinc(b\xi) sinc(d\eta) \\ = |bd|e^{-j2\pi(\xi x_0 + \eta y_0)}sinc(b\xi, d\eta)$$ 

 

위를 얻기 위해 우리는 One-Dimensioanl Foureir Transform의 Property들을 활용하였다. $b=1$, $d=1$, $x_0 = 0$, $y_0 = 0$으로 설정하면 다음과 같은 관계가 성립하게 된다.

 

$$rect(x,y) \leftrightarrow sinc(\xi, \eta)$$

 

2.2 Gaus function

Two-Dimensional Gaussian Function의 Fourier Transform은 다음과 같이 정의된다.

 

$$\mathcal{F} \{Gaus({x-x_0 \over b},{y-y_0 \over d})\} = \mathcal{F} \{Gaus({x-x_0 \over b})\} \mathcal{F} \{Gaus({y-y_0 \over d})\}\\ = |bd|e^{-j2\pi \xi x_0} e^{-j2\pi \eta y_0} Gaus(b\xi)Gaus(d\eta) \\ = |bd|e^-{-j2\pi(\xi x_0 + \eta y_0)}Gaus(b\xi, d\eta)$$

 

Rect와 마찬가지로, $b=1$, $d=1$, $x_0 = 0$, $y_0 = 0$ 일 때 다음의 관계가 성립하게 된다.

 

$$Gaus(x,y) \leftrightarrow Gaus(\xi, \eta)$$

3. Two-Dimensioanl Fourier Transform of functions of one variable

$f(x,y) = f_1(x)$의 Fourier Transform에 대해 생각해 보자, 이러한 function $f(x,y)$는 $y$에 의존하지 않는다(e.g. f_2(y) = 1인 경우). Fourier Transform의 정의를 이용하면 다음과 같은 결과를 얻게 된다.

 

$$\mathcal{F} \{f(x,y)\} = \mathcal{F} \{f_1(x) \cdot 1\} =  \int\int^\infty_{-\infty}  f_1(x) e^{-j2\pi (\xi x + \eta y)}dxdy \\ = [\int^\infty_{-\infty}  f_1(x) e^{-j2\pi \xi x}dx][\int^\infty_{-\infty}  f_2(y) e^{-j2\pi \eta y}dy] \\ = F_1(\xi)\delta(\eta)$$

 

function $f(x,y)$가 y direction으로 일정한 value를 가지기 때문에, $f_2(y) = 1$으로 분리할 수 있기 때문에 이러한 결과를 얻을 수 있다. 이와 같은 Two-Dimensional Function의 Fourier Transform 결과는 아래와 같다.

 

4. Properteis of Two-Dimensional Fourier Transform

Separable function의 경우 One-Dimensional Foureir Trasnform의 Property가 적용된다는 사실이 자명하지만, Non-Separable function의 경우 그렇지 않다. 

 

4.1 Two-Dimensional Convolution Theorem

Two-Dimensioanl Fourier Transform의 가장 중요한 Property 중 하나는 Convolution이다. $f(x,y)$와 $h(x,y)$가 있을 때, 두 function의 Convolution은 다음과 같다.

 

$$\mathcal{F} \{f(x,y)h(x,y)\} = \int\int^\infty_{-\infty} [\int\int^\infty_{-\infty} f(\alpha, \beta)h(x-\alpha, y-\beta) d\alpha d\beta] e^{-j2\pi(\xi x + \eta y)} dxdy$$

 

One-Dimensional에서와 마찬가지로, double Integration의 순서를 변경함으로써 다음을 얻을 수 있다.

 

$$\mathcal{F} \{f(x,y)h(x,y)\} = \int\int^\infty_{-\infty}  f(\alpha, \beta)\mathcal{F}\{h(x-\alpha, y-\beta)\} d\alpha d\beta \\= \int\int^\infty_{-\infty} f(\alpha, \beta) e^{-j2\pi\xi \alpha} e^{-j2\pi \eta \beta}H(\xi, \eta) d\alpha d\beta \\ = F(\xi, \eta) H(\xi, \eta)$$

 

마찬가지로 Convolution Theorem을  거꾸로 적용하여 다음을 얻을 수 있다

 

$$f(x,y)h(x,y) \leftrightarrow F(\xi, \eta) * H(\xi, \eta)$$