Lec 7. Special Properties and Important Theorems Involving the Fourier Transform

본 게시물은 University of Arizona의 Prof. J. Scott Tyo의 OPTI512R 강의를 보고 정리한 내용입니다.
전공자가 아닌 만큼 부정확한 정보가 포함되어 있을 수 있습니다.
부정확한 정보가 있다면 알려주시면 감사하겠습니다.

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The Convolution Theorem for Fourier Transform

앞서 Lec 5에서 우리는 Direct Convolution을 수행하는 방법과, Graphical Convoltion에 대해 학습하였다. 두 Function의 convolution은 해당 function들의 Fourier trasnform과 연관이 있다. 아래 그림과 같은 System이 존재한다고 가정할 때, 이 System은 두 가지 방법 중 하나로 ouput을 계산할 수 있다.

 

첫 번째 방법은 Input을 Shift 되고, Weight 된 delta function의 superposition으로 분할하고, 각 function을 System에 전달하여 shift 되고, wegith 된 impulse response $h(x-x_0)$를 얻고, Convolution integral을 통해 output을 얻는 방법이다.

 

두 번째 방법은 input을 Fourier Transform을 통해 weight가 부여된 complex sinusoid의 superposition으로 나누고, Transfer function $H(\xi)$를 사용하여 System을 통해 각 input을 전달한 다음, Invesrse Fourier Transform을 통해 output을 얻는 방법이다.

 

두 가지 방법은 같은 Input을 이용해 같은 Output을 생성해 내기 때문에 우리는 $h(x)$와 $H(\xi)$사이에 어떠한 관계성이 있을 것이라고 유추할 수 있다. 이러한 관계성이 존재하는지 증명하기 위해 다음과 같은 Fucntion이 있다고 하자.

 

$$g(x) = f(x) * h(x) = \int^{\infty}_{-\infty} f(\alpha)h(x-\alpha) d\alpha$$

 

위 function에 Fourier Trasnform을 적용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

 

$$\mathcal{F} \{g(x)\} = \int^\infty_{-\infty} g(x)e^{-j2\pi\xi x}dx \\ = \int^\infty_{-\infty} [\int^\infty_{-\infty} f(\alpha)h(x-\alpha) d\alpha] e^{-j2\pi \xi x} dx\\ = \int^\infty_{-\infty} f(\alpha) [\int^\infty_{-\infty} h(x-\alpha)e^{-j2\pi \xi x} dx]d\alpha \\ = \int^\infty_{-\infty} f(\alpha)H(\xi)e^{-j2\pi\xi \alpha} d\alpha \\ = F(\xi)H(\xi)$$

 

위 연산 과정에서 $h(x-\alpha) \leftrightarrow e^{-j2\pi \xi \alpha}H(\xi)$라는 관계를 활용하였다.

 

이제 우리는 두 Function의 Conolution을 space domain에서의 integral을 통해 직접 계산하거나, 두 Function의 Fourier Trasnform을 곱하고, Inveser Fourier Trasnform을 통해 계산할 수 있다. 위 그림에 표현된 Linear System이 완성되었다. Impulse Response $h(x)$ 또는 Transfer function $H(\xi)$를 사용하여 System을 characterize 할 수 있으며 이 두 function은 Fourier Transform을 통해 $h(x) \leftrightarrow H(\xi)$의 관계를 가지게 된다.

 

두 Function의 Fourier Trasnform을 곱하고, Inveser Fourier Trasnform을 수행하는 방법을 사용하는 이유는 무엇일까? 

Digital Signal Analysis에 사용되는 Discrete Fourier Transform의 경우 $N$개의 Sample을 가지는 두 Signal $f(x)$와 $h(x)$의 Convolution 연산은 $O[N^2]$의 시간이 필요하고, Fourier Transform에도 $O[N^2]$의 시간이 소요된다.

이러한 경우에 위의 두 가지 방법 모두 아무런 이점이 없지만, Discrete Fourier Transform은 FFT(Fast Fourier Transform) Algorithm을 이용하여 Fourier Transform에 소요되는 시간을 $O[N^2]$에서 $O[N \log N]$으로 단축할 수 있기 때문에 Space Domain에서의 직접 Convolution 계산보다 Freqeuncy Domain에서의 작업이 더 빠르다.

 

다음과 같은 예시를 통해 좀 더 자세히 알아보도록 하자. Direct Convolution을 나타내는 function $g(x) = sinc(x) * sinc(bx)$은 다음과 같다.

 

$$g(x) = \int^\infty_{-\infty} {\sin(\pi b \alpha) sin(\pi(x-\alpha)) \over {\pi^2 b \alpha(x-\alpha)}} d\alpha$$

 

위 수식의 계산 과정은 상당히 복잡하지만, Convolution Theorem을 이용하면 다음과 같이 간단하게 표현할 수 있다.

 

$$G(\xi) = F_1(\xi)F_2(\xi) \\ = {1 \over |b|} rect(\xi)rect({\xi \over b}) \\ = {1 \over|b|}rect(\xi)$$

 

위 수식에서는 $b>1$이라고 가정하였다. $|b| < 1$인 경우에는 $sinc(x) * sinc(bx) = ({1\over |b|})sinc(x)$이다.

 

 

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Applications of The Convolution Theorem

1. Periodic Function

우리는 앞서 Lec 6에서 Periodic Function의 Fourier Transform을 수행하는 두 가지 방법에 대해 학습하였다.

첫 번째 방법은, Periodic Function을 Fourier Series로 변환한 뒤, Fourier Transform을 적용하는 방법이고, 두 번째 방법은 Periodic Function에 직접 Foureir Transform을 적용하는 방법이었다. 이제 우리는 Convolution Theorem을 이용하는 세 번째 방법에 대해 알아볼 것이다. Lec 5에서 우리는 다음과 같이 Comb와 어떤 Function의 Convolution을 통해 $T$의 Period를 가지는 Periodic Function을 생성할 수 있다는 사실을 학습하였다.

 

$$f_p(x) = f(x) * comb({x \over T})$$

 

이전 강의에서 Periodic Function의 Fourier Transform에 대해 $f(x)$가 0이 되는 구간이 $-{T \over 2} \leq x \leq {T \over 2}$밖에 있다는 가정을 하였지만, 이 조건은 Periodicity와는 관련이 없다. 위 수식에 Fourier Transform을 적용하면, 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

 

$$\mathcal{F} \{f_p(x)\} = \mathcal{F} \{f(x) * comb({x\over T})\} = TF(\xi)comb(T\xi) = {1 \over \xi_0}F(\xi)comb({\xi \over \xi_0})$$

 

2. Windows

Convolution Theorem에 따르면, 다음의 관계들이 성립한다.

 

$$f(x) * h(x) \leftrightarrow F(\xi)H(\xi) \\ $$

 

아래 그림과 같은 임의의 Function $f(x) = \cos(2\pi x) + {1\over 2}\cos(3\pi x) + {1 \over 4}\cos(\pi x)$가 있다고 하자, 이때 $f(x)$의 Fourier Transform은 $\xi = 0.5$와 $\xi = 1$ 그리고 $\xi = 1.5$의 impulse로 구성되어 있다. 그림의 왼쪽은 $f(x)$의 graph와 Fourier Trasnform의 graph를 나타낸 것이고, 그림의 오른쪽은 $f(x)rect({x\over 3})$의 graph와 $f(x)rect({x \over 3})$의 Fourier Transform $3F(\xi) * sinc(3\xi)$의 grpah를 나타내고 있다. $3F(\xi) * sinc(3\xi)$는 $f(x)rect({x \over 3})$에 비해 Signal이 더 넓은 Bandwidth를 가지고, Impulse가 blur 되었다. 이를 Windowing이라고 하며, Windowing을 통해 Signal의 특성을 변화시킬 수 있다.

3. Amplitude Modulation

Signal $f(x)$를 전달하는 information을 가져와 Carrier wave $\cos(2\pi \xi_0 x)$를 modulate 하면 다음과 같은 signal을 얻게 된다.

 

$$f_{am}(x) = f(x) \cos(2\pi \xi_0 x)$$

 

이 Singal의 Fourier transform은 다음과 같다.

 

$$F_{am}(\xi) = F(\xi) * {1 \over 2}(\delta(\xi - \xi_0) + \delta(\xi + \xi_0)) \\ = {1 \over 2}[F(\xi - \xi_0) + F(\xi + \xi_0)]$$

 

아래 그림은 $\xi_0 = 6$인 $f(x) = Gaus(2x)$와 Amplitude Modulation이 적용된 $F(\xi)$및 Fourier transform 결과를 Graph로 나타낸 것이다.

gr

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Eigen Functions of The Fourier Transform Operator

Fourier Transform operation과 Symmetric 한 Function Series가 존재하는데, 이러한 종류의 Function을 Eigen Function이라고 하고, 그 예로는 Comb Function과 Gaussian Functino이 있다.

1. The Comb Function

Comb Function의 Transform에는 크게 2가지 방법이 있다. 우리는 Comb Function이 $T=1$의 Period를 가진다는 것을 알고 있고, 이는 곧 $\xi_0 = 1$의 Fundamental Frequency를 가지는 Fourier Sereis로 표현될 수 있다는 것을 의미하며, 다음의 수식을 가진다.

 

$$comb(x) = \sum^\infty_{n=-\infty} \delta(x-n) \\ = \sum^\infty_{n=-\infty} c_ne^{j2\pi n x}$$

 

또한 Coefficients는 다음과 같이 계산된다.

 

$$c_n = \int^{1\over2}_{-{1\over2}} f(x)e^{-j2\pi n x} dx \\ =\int^{1\over2}_{-{1\over2}} \delta x e^{-j2\pi n x} dx \\ = 1$$

 

이는 곧 comb function이 다음과 같이 작성될 수 있다는 것을 의미한다.

 

$$comb(x) = \sum^\infty_{n = -\infty} e^{j2\pi n x}$$

 

위 수식에 Fourier Transform을 적용하면 다음과 같은 결과를 얻게 된다.

 

$$comb(x) = \sum^\infty_{n = -\infty} \delta(\xi -n) \\ = comb(\xi)$$

 

또한 다음과 같이 shifted delta function의 관점에서 Comb function을 정의에서 direct transform 할 수 있다는 점에 주의해야 한다.

 

$$comb(x) = \sum^{\infty}_{n=-\infty} \delta(x-n) \\ \mathcal{F} \{comb(x)\} = \sum^{\infty}_{n=-\infty} \mathcal{F} \{\delta(x-n)\} \\ = \sum^{\infty}_{n=-\infty} e^{j2\pi n \xi}\\ = comb(\xi)$$

 

2. Fourier Transform of the Gaussian Function

Gaussian Function은 Foureir Transform operation의 Eigen function이다. Gaussian Function의 Fourier Transform은 다음과 같다.

 

$$\mathcal{F} \{Gaus(x)\} = \int^\infty_{-\infty} e^{-\pi x^2} e^{-j2\pi \xi x} dx \\ = e^{-\pi \xi^2} \int^\infty_{-\infty} e^{-\pi (x^2 -j2\pi \xi x - \xi^2)dx} \\ =  e^{-\pi \xi^2} \int^\infty_{-\infty} e^{-\pi(x-j\xi)^2} dx \\ =  e^{-\pi \xi^2} = Gaus(\xi)$$

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Important Properties of The Fourier Transform

1. Wiener-Khinchine Theorem

Wiener-Khinchine Theorem은 AutoCorrelation Function을 Function의 Power spectral Density와 연관시키는 역할을 한다.

 

$$\mathcal{F}\{\gamma_f(x)\} = \int^\infty_{-\infty} [\int^\infty_{-\infty} f(\alpha)f^*(\alpha - x) d\alpha] e^{-j2\pi \xi x} \\= \int^\infty_{-\infty}f(\alpha)\int^\infty_{-\infty}f^*(\alpha-x)e^{-j2\pi\xi x}dxd\alpha\\ = \int^\infty_{-\infty}f(\alpha)[\int^\infty_{-\infty} f(\alpha - x)e^{j2\pi\xi x}dx]^* d\alpha \\ = \int^\infty_{-\infty} f(\alpha) F^*(\xi)e^{-j2\pi \xi \alpha} d\alpha \\ = F(\xi)F^*(\xi) = |F(\xi)|^2$$

 

위 관계를 통해 Autocorrelation의 Fourier Transform이 function $f(x)$의 Power Spectral Density라고 부르는 special 한 completely real function $|F(\xi)|^2$임을 알 수 있다. 이는 Fourier Transform Spectroscopy라고 알려진 기술의 기초이다.

아래 그림과 같은 Interferometer(간섭계)를 생각해보자.

Collimated light는 Beam Splitter(BS)으로 들어가 두 개의 경로로 나뉜다. 두 경로의 빛 모두 거울에 반사되지만, Interferometer의 두 arm의 총 경로 길이가 h 만큼 다르다. Compensator는 Beam Splitter를 통과하는 두 경로 사이의 Dispersion을 관리한다. 두 개의 거울에서 반사된 후, 빛은 Beam Splitter에 두 번째로 부딪히게 된다. 아래로 향하는 경로는 Interferometer의 두 arm을 통과한 각각의 빛의 superposition이다. 이때 두 arm의 경로 길이가 동일해지면(h =0이 되면) Detector에 Constructive interference가 발생하고, arm 중 하나의 경로 길이가 변경되면(h!= 0이면) 이 Interference가 줄어든다. $h ~ {\lambda \over 2}$가 되면 Destructive interference가 발생하게 된다. h를 scan 할 때, 밝은 상태와 어두운 상태 사이를 ocillating 하는 많은 경계를 통과하게 될 것이다. 이러한 ocillating fringe는 아래 그림에 표시된 것처럼, Source의 bandwidth에 의해 결정되는 Envelope function에 의해 Modulate 된다.

 

Source에 2개 이상의 Frequency components가 존재할 경우 위 그림과 같은 Fringe pattern을 만들고, 이러한 Fringe Pattern이 서로 겹쳐지게 된다. 모든 Fringe Pattern의 합계가 Source의 Spectral Content를 결정하는 데 사용되는 Interferogram을 생성한다.

 

Detector에서 Record 된 Signal은 Finite 한 Integration time 동안의 Total Optical Field의 Intensity의 Average와 비례한다. 많은 실험에서, Detector의 Integeration time은 $\tau_c$보다 훨씬 크기 때문에, 이 Integration process를 Infinite time average로 생각할 수 있다. Detector의 Intensity는 다음과 같이 정의된다.

 

$$I_D(h) = \langle |K_1u(t) + K_2u(t + {2h\over c})|^2 \rangle$$

 

여기서 $K_1$과 $K_2$는 Interferometer의 두 arm에 있는 Loss를 설명하는 Real constant이고, $u(t)$는 빛이 Collimate 되기 전에 Point source에 의해 방출되는 Signal을 의미한다. $<>$는 Infinite Time Average를 의미한다. 우리는 위 수식을 아래와 같이 확장할 수 있다.

 

$$I_D(h) = {K_1}^2 \langle |u(t)|^2\rangle + {K_2}^2 \langle|u(t - {2h\over c})|^2 \rangle + 2K_1K_2 Re\left[\langle u(t)u^*(t-{2h \over c})\rangle\right]$$

 

첫 두 항은 Infinite time average이기 때문에 아래와 같이 정의할 수 있다.

 

$$I_0 = \langle|u(t)^2|\rangle = \langle|u(t-{2h\over c})|^2\rangle$$

 

세 번째 항은 $u(t)$로 설명된, Analytic Signal의 Autocorrelation function $\gamma_u(\tau)$이며, 여기서 $\tau = {2h \over c}$는 Interferometer의 두 arm에서의 time delay이다. 앞서 Autocorrelation의 Fourier Trasnform이 Power Spectral Density라는 것을 이미 학습하였다. Interferometer를 측정하면 Fourier Transform을 통해 Source의 Spectrum을 확인할 수 있는데 이러한 방법을 Fourier Transform Spectroscopy라고 한다.

 

2. Rayleigh Energy Theorem

Rayleigh Energy Theorem은 Parseval's Theorem과 밀접한 관련이 있으며, 다음과 같은 한 문장으로 정리될 수 있다.

Spatial Domain 또는 Spaital Frequency Domain의 Total Integrated Energy는 동일하다. 이는 수학적으로는 아래와 같은 수식으로 표현된다.

 

$$\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2dx = \int_{-\infty}^{\infty}[\int_{-\infty}^{\infty} F(\xi_1) e^{j2\pi \xi_1 x}][\int_{-\infty}^{\infty} F(\xi_2)e^{j2\pi \xi_2 x}]^* dx \\ = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}F(\xi_1)F^*(\xi_2)[\int_{-\infty}^{\infty} e^{j2\pi(\xi_1 - \xi_2)x }dx] d\xi_1 d\xi_2 \\ = \int_{-\infty}^{\infty}F(\xi_1)\int_{-\infty}^{\infty}F^*(\xi_2) \delta(\xi_1 - \xi_2) d\xi_2 d\xi_1 \\ = \int_{-\infty}^{\infty} F(\xi_1)F^*(\xi_2) d\xi_1 = \int_{-\infty}^{\infty} |F(\xi_1)|^2 d\xi_1$$

 

위 수식은 여러 Application에서 매우 중요하게 사용된다. 어떤 domain을 선택하던 Total Energy를 계산할 수 있다. Power signal(Unit time - power 당 Energy가 Fininte 하지만, Average Energy가 Infinite 한 signal)의 경우 Parsevals의 정리를 사용한다.

3. Moment Theorem

Function의 $k^{th}$ Moments는 다음과 같이 정의된다.

 

$$m_k = \int_{-\infty}^{\infty} x^k f(x) dx$$

 

Fourier Transform을 이용하여 임의의 function에 대해 quantity를 evaluate 할 수 있다. Foureir Transform의 $k^{th}$ Derivative를 다음과 같은 유사한 Integral로 연관 지을 수 있다.

 

$$F^{(k)} (\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} (-j2\pi x)^kf(x)e^{-j2\pi\xi x} dx$$

 

위 수식을 재 정렬하고, $\xi = 0$에 대해 evaluate 하여 다음과 같이 정리할 수 있다.

 

$${F^{(k)}(0) \over {(-j2\pi)^k}} = \int^\infty_{-\infty}sinc(x) dx = m_0 = F(0)$$

 

대부분의 경우 Function $f(x)$의 Fourier Transform을 알면, 위의 수식을 활용하여 Function의 Moment를 훨씬 쉽게 계산할 수 있게 된다. 예를 들어 다음과 같은 function이 있다고 하자.

 

$$\int_{-\infty}^\infty sinc(x) dx = m_0 = F(0)$$

 

우리는 이미 $F(\xi) = rect(\xi)$라는 것과 $rect(0) = 1$이라는 것을 알고 있기 때문에 다음이 성립함을 알 수 있다.

 

$$int_{-\infty}^\infty sinc(x) dx = 1$$

 

4. The Heisenberg Uncertainty Principle

Heisenberg Uncertainty Principle은 Quantaum mechanics에서 자주 사용되는 Principle 중 하나로 position-momentum사이의 Uncertainty에 대한 Principle로써 Particle의 Position과 Momentum을 동시에 정확하게 측정할 수 없다는 것을 의미한다. Position이 정확하게 측정될수록 Momentum의 Uncertainty는 증가하고, Momentum이 정확하게 측정 될 수록 Position의 Uncertainty는 증가한다. wave-particle duality에 따라 빛은  wave와 Particle의 특징을 동시에 지닌다.

 

이때 Photon propagation의 측면에서, Heisenberg Uncertainty Principle은 우리가 Photon의 position과 propagation direction을 정확하게 알 수 없다는 것을 의미하고 이는 수학적으로 아래와 같다.

 

$$\triangle x\triangle k \ge C \approx 1$$

 

$\triangle x$와 $\triangle k$의 수량은 $x$와 wave number $k$의 Uncertainty이고, $C$는 Uncertainty를 정의하는 방법에 따라 변화하는 Constant이다. 정의와 상관없이 C는 1 차수이며, Scalar form으로 Principle을 작성하였지만, 실제로는 3-Dimensional position과 propagation이다.

 

Position $f(x)$와 Wave number $F(k)$에 대한 Probability Density Function은 Fourier Transform과 관련이 있다. 예를 들어 Photon이 width $b$를 가지는 일종의 potential well에 localize 되어 spatial distribution이 다음 수식에 비례한다고 가정해보자.

 

$$f(x) = rect({x \over b})$$

 

Wavenumber $k_x$의 x-components distribution은 다음과 같이 알려진 $F\{f(x)\}$으로 설명할 수 있다.

 

$$F(k) = |b|sinc(bk_x)$$

 

 

위 그림은 $b$의 여러 값에 대한 Spatial distribution 및 Wavenumber distribution을 보여준다. rect function이 좁아질수록(Position이 Localize 될수록) sinc function은 넓어진다(Momentum이 Localize 되지 않음). rect function의 width는 분명하게 $|b|$이고, sinc function의 width를 정의하는 방법은 우리에게 달려있다.

sinc function의 width를 첫 번째 side lobe의 Peak까지의 width로 정의하자, 이는 대략 $k_x = \pm {3\pi \over 2b}$이다. width의 product는 ${3\pi \over 2}$ 혹은 대략 4.5 정도이다. Gaussian function Pair의 경우 가능한 가장 narrow 한 product 값을 가진다는 것이 알려져 있다.

 

이를 Physical optics에 직접 적용해 보도록 하자. 우리는 Free space의 두 가지 primary wave mode를 알고 있고, 첫 번째는 x-direction으로 propagate 하는 plane wave이고 다음과 같이 정의된다.

 

$$U = U_0  {e^{j {2\pi \over \lambda} x}}$$

 

Wave가 어떤 방향으로 Propagate 되는지 정확하게 알 수 있지만(k에 Uncertainty는 없기 때문), wave의 Position은 Infinite 하다.(Transverse position의 완전한 Uncertainty). 우리가 알고 있는 두 번째 wave는 Spherical Wave로, 이 경우 field는 다음과 같이 정의된다.

 

$$U = U_0 \cos\theta {e^{j {2\pi \over \lambda} r} \over r}$$

 

이 경우 Source는 정확한 Position에 localize 되지만(x에 Uncertainty는 없기 때문), 그것이 propagate 되는 방향(k의 완전한 Uncertainty)은 알 수 없다.