Lec 16. Fraunhofer Diffraction

본 게시물은 University of Arizona의 Prof. J. Scott Tyo의 OPTI512R 강의를 보고 정리한 내용입니다.
전공자가 아닌 만큼 부정확한 정보가 포함되어 있을 수 있습니다.
부정확한 정보가 있다면 알려주시면 감사하겠습니다.

 

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Basics of Diffraction Theory

이전 Lecture에서 우리는 wave equation에 대한 Plane wave solution에 대해 학습하였고, 주어진 Plane에서, 임의의 field distribution이 Plane wave의 Superposition으로 분해할 수 있는지에 대해 학습하였다. 그런 다음 각각의 Plane wave가 개별적으로 propagating 되도록 허용함으로써, field를 일정 distance만큼 propagating 한 후 이를 합산하였다.

 

앞선 Lectue에서 우리는 Electromagnetic wave의 Position과 Wavenumber를 Infinitely precise 하게 알 수없다는 Heisenberg uncertainty principle에 대해 학습하였다. Lecture 15에서는 Wavenumber의 Uncertainty가 zero인 즉, Wave의 propagating direction을 정확하게 알고있는 basis set을 사용하였다. 그러나 plane wave는 infinite extent를 가지기 때문에, individual basis function은 position의 localization이 전혀 없다.

 

앞으로의 Lecture 들에서 우리는 field의 dual representation을 사용할 것이다. 즉, space에 precise하게 locate 하지만, wavenumber의 localization을 제공하지 않는 basis set을 선택할 것이다. 이 basis set은 spherical wave로, 우리는 source의 loaction은 정확하게 알고 있지만, light는 all direction으로 propagating 한다. 우리는 Field가 monochromatic 하고, linearly polarized 되어있다고 가정할 것이다. 이러한 가정은 computation에서 polarization을 ignore 하고, Scalar diffraction theory를 사용할 수 있게 해 준다. 우리는 position과 time의 function으로써 field를 다음과 같이 쓸 수 있다고 가정한다.

 

$$u(x, y, z ; t)=a(x, y, z) \cos \left[2 \pi \nu_{0} t-\phi(x, y, z)\right]$$

 

우리는 다음과 같이 Phasor notation을 활용하여, trigonometric function의 최대한 피하도록 할 것이다.

 

$$u(x, y, z)=a(x, y, z) e^{j \phi(x, y, z)}$

 

위 둘을 다음과 같이 realte 할 수 있다.

 

$$u(x, y, z ; t)=\operatorname{Re}\left\{u^{*}(x, y, z) e^{j 2 \pi \nu_{0} t}\right\}$$

 

Optical field $u(r)$를 사용하여 Diffraction calculation을 수행하는 동안 대부분의 optical detector는 intensity, power, 또는 radiometric quantity에 반응한다. 이는 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

$$I(x, y, z)=|u(x, y, z)|^{2}$$

 

1. Spherical Waves

Scalar diffraction theory에서 우리는 point source와 spherical wave를 잘 이해해야 한다. 위  그림에 나타난 geometry에 대해 생각해보자. Scalar diffraction theory는 obervation plane $(x_2, y_2)$상의 field를 다음과 같이 쓸 수 있게 해 준다.

 

 

$$u\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)=D \cos \psi \frac{e^{j k r_{12}}}{r_{12}}$$

 

이때 $D$는 complex constant이고,

 

$$\cos \psi=\frac{z_{12}}{r_{12}}$$

 

는 source가 실제로 electromagnetic 하기 때문에, dipole처럼 radiate 한다는 사실을 설명하는 obliquity factor이다. wavenumber는 $k= {2\pi \over \lambda}$이고,

 

$$r_{12}=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}}$$

 

는 source로부터, observation point까지의 distance이다. 우리는 $u(x_2, y_2, z_2) = D \cos\psi {e^{jk r_{12}} \over r_{12}}$를 다음과 같이 정리할 수 있다.

 

$$\begin{aligned}
u(x, y, z) &=\frac{D z_{12}}{r_{12}^{2}} e^{j k r_{12}} \\
&=\frac{D \exp \left\{j k z_{12} \sqrt{1+\left(\frac{x_{2}-x_{1}}{z_{12}}\right)^{2}+\left(\frac{y_{2}-y_{1}}{z_{12}}\right)^{2}}\right\}}{z_{12}\left[1+\left(\frac{x_{2}-x_{1}}{z_{12}}\right)^{2}+\left(\frac{y_{2}-y_{1}}{z_{12}}\right)^{2}\right]}
\end{aligned}$$

 

source가 axis위에 있고, $z_1 = 0$일 때, 우리는 다음을 가진다.

 

$$u(x, y, z)=\frac{D \exp \left\{j k z \sqrt{1+\left(\frac{x}{z}\right)^{2}+\left(\frac{y}{z}\right)^{2}}\right\}}{z\left[1+\left(\frac{x}{z}\right)^{2}+\left(\frac{y}{z}\right)^{2}\right]}$$

 

위 수식에서 우리는 constant phase의 surface가 sphere라는 것을 알 수 있으며, 이러한 사실에 의해 Spherical wave라는 이름이 붙는다. observation position이 $z>0$일 때, 우리는 origin에서 diverging away 하는 optical wave를 가지게 되고, $z < 0$일 때 origin을 향해 converging 하는 optical wave를 가지게 된다. 만약 우리가 왼쪽으로 propagating 하는 diverging wave를 가지려면, exponential term에서 square root의 sign을 다른 것을 선택해야 한다. 우리는 앞으로 다루게 될 optical system의 경우 transverse plane의 field에 대해 다루므로, z-location이 imply 된 상태에서 $u(x_2, y_2, z_2) = u(x_2, y_2)$로 쓸 것이다.

 

2. Huygens-Fresnel Principle

Huygens-Fresnel principle은 $z=z_1$에서 plane $(x_1, y_1)$의 field에 대해 $z=z_2$에서 plane $(x_2, y_2)$의 scalar field를 계산할 수 있다는 것을 알려준다. 이는 uniqueness theorem을 이용하여, elecromagnetic field에 대해 보여줄 수 있다. Huygens-Fresnel principle은 plane의 각 point $(x_1, y_1)$를 field amplitude $u(x_1, y_1)$에 의해 주어진 amplitude와 phase를 가지는 point source로 간주할 수 있다는 것을 말한다. 이러한 각각의 effective source는 spherical wave를 radiate 하며, observation point $(x_2, y_2)$는 모든 individual field contribution을 합산하여 계산할 수 있고, 이는 수학적으로 아래와 같다.

 

$$u_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)=\iint_{-\infty}^{\infty} u_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right) \frac{z_{12}}{j \lambda r_{12}} \frac{e^{j k r_{12}}}{r_{12}} d x_{1} d y_{1}$$

 

위 수식은 종종 Kirchoff diffraction integral이라고 불리며, Rayleigh sommerfeld electromagnetic diffraction integral에 대한 approximation이다. $j\lambda$의 factor는 Maxwell's equation을 만족시키는 것에서 유래한다.

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Fraunhofer Diffraction

위의 Huygens-Fresnel principle의 수식은 Exponent가 highly nonlinear 하기 때문에 exacat computation이 impossible 하다. 우리는 이 수식을 이용하여 diffraction을 numerical 하게 evaluate 할 수 있지만, 일반적으로 위 수식을 단순화할 수 있는 두 개의 diffraction region을 고려할 것이다. 이 두 개의 region은 각각 Fresnel region과 Fraunhofer region이다.

 

Fraunhofer region은 종종 far-field라고 불린다. 아래 그림과 같은 상황에 대해 생각해보자. 우리는 $(x_1, y_1)-$plane의 aperture가 radius $L_1$의 circle로 bound 된다고 가정할 것이다. 즉, 우리는 ${x_1}^2 + {y_1}^2 > {L_1}^2$에 대해 $u(x_1, y_1) = 0$이라고 가정한다.

Exponent에서 square root term을 고려해보자. 만약 우리가 $z >> L_1, x_2, y_2$라고 가정하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

$$\begin{aligned}
\sqrt{1+\left(\frac{x_{2}-x_{1}}{z_{12}}\right)^{2}+\left(\frac{y_{2}-y_{1}}{z_{12}}\right)^{2}} & \approx 1+\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x_{2}-x_{1}}{z_{12}}\right)^{2}+\left(\frac{y_{2}-y_{1}}{z_{12}}\right)^{2}\right] \\
& \approx 1+\frac{1}{2}\left[\frac{x_{2}{ }^{2}+y_{2}{ }^{2}}{z_{12}{ }^{2}}+\frac{x_{1}{ }^{2}+{y_{1}}{ }^{2}}{z_{12}{ }^{2}}-2 \frac{x_{2} x_{1}+y_{2} y_{1}}{z_{12}{ }^{2}}\right] .
\end{aligned}$$

 

Huygens-Fresnel principle의 수식에 존재하는 exponential은 이제 다음과 같이 정리된다.

 

$$\begin{aligned}
e^{j k r_{12}} & \approx \exp \left\{j \frac{2 \pi z_{12}}{\lambda}\right\} \exp \left\{j \frac{\pi z_{12}}{\lambda}\left[\frac{x_{2}{ }^{2}+y_{2}{ }^{2}}{z_{12}{ }^{2}}+\frac{x_{1}{ }^{2}+y_{1}{ }^{2}}{z_{12}{ }^{2}}-2 \frac{x_{2} x_{1}+y_{2} y_{1}}{z_{12}{ }^{2}}\right]\right\} \\
&=\exp \left\{j \frac{2 \pi z_{12}}{\lambda}\right\} \exp \left\{j \frac{\pi z_{12}}{\lambda} \frac{x_{2}{ }^{2}+y_{2}{ }^{2}}{z_{12}{ }^{2}}\right\} \exp \left\{j \frac{2 \pi z_{12}}{\lambda} \frac{x_{2} x_{1}+y_{2} y_{1}}{z_{12}{ }^{2}}\right\} \exp \left\{j \frac{\pi z_{12}}{\lambda} \frac{x_{1}{ }^{2}+y_{1}{ }^{2}}{z_{12}{ }^{2}}\right\} .
\end{aligned}$$

 

이미 우리가 ${x_1}^2 + {y_1}^2 \leq {L_1}^2$로 restrict 하였기 때문에, 만약 우리가 선택한다면, 우리는 위 수식의 오른쪽 마지막 항을 대략적으로 통일되게 할 수 있다.

 

$$\begin{aligned}
&\frac{\pi L_{1}^{2}}{\lambda z_{12}}<<1 \\
&z_{12}>>\frac{\pi L_{1}^{2}}{\lambda}
\end{aligned}$$

 

위 수식은 Aperture의 Fraunhofer zone혹은 Far-field를 define 한다.

Fraunhofer zone에 도달하려면, 얼마나 멀리 가야 하는가에 대해 잠시 생각해볼 필요가 있다. $\lambda = 500 [nm]$인 Green laser light로 illuminate 되는 $1''(2.5cm)$ optic을 가정해보자 이 경우 다음이 성립한다.

 

$$z_{12}>>\frac{\pi(.0125)^{2}}{500 \times 10^{-9}}[\mathrm{~m}] \approx 1000[\mathrm{~m}]$$

 

우리가 Fraunhofer zone에 있을 때, 우리는 

 

$$u_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)=\iint_{-\infty}^{\infty} u_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right) \frac{z_{12}}{j \lambda r_{12}} \frac{e^{j k r_{12}}}{r_{12}} d x_{1} d y_{1}$$

 

위 수식을 다음과 같이 정리할 수 있다.

 

$$\begin{aligned}
u\left(x_{2}, y_{2}\right) & \approx \frac{e^{j k z_{12}}}{j \lambda z_{12}} \exp \left\{j \frac{\pi}{\lambda z_{12}}\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)\right\} \iint_{-\infty}^{\infty} u_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right) e^{-j \frac{2 \pi}{\lambda z_{12}}\left(x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}\right)} d x_{1} d y_{1} \\
&=\frac{e^{j k z_{12}}}{j \lambda z_{12}} \exp \left\{j \frac{\pi}{\lambda z_{12}}\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)\right\} \iint_{-\infty}^{\infty} u_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right) e^{-j 2 \pi\left(x_{1} \xi+y_{1} \eta\right)} d x_{1} d y_{1} \\
&=\left.\frac{e^{j k z_{12}}}{j \lambda z_{12}} \exp \left\{j \frac{\pi}{\lambda z_{12}}\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)\right\} \mathcal{F}\left\{u\left(x_{1}, y_{1}\right)\right\}\right|_{\xi=\frac{x_{2}}{\lambda z_{12}}, \eta=\frac{y_{2}}{\lambda z_{12}}}
\end{aligned}$$

 

위 수식은 Aperture에 의해 diffraction 되는 fraunhofer zone의 field가 일부 phase term에 의해 수정된 aperture의 field distribution의 Fourier transform으로 제공된다는 결과를 제공한다. $(x_2, y_2)$ plane의 각 observation position은 다음에서 주어진 특정 spatial frequency에 해당한다.

 

$$\begin{aligned}
\xi &=\frac{x_{2}}{\lambda z_{12}} \\
\eta &=\frac{y_{2}}{\lambda z_{12}}
\end{aligned}$$

 

Foureir Transform 앞에 Spherical phase curvature term이 존재한다는 것에 주의해야 한다. 그러나 final observation이 intensity의 측면에서 observation 되어야 한다면, 이 phase curvature term은 결과에 영향을 미치지 않을 것이기 때문에, 우리는 다음과 같은 조건을 가지고 있어야 한다.

 

$$I\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(\frac{1}{\lambda z_{12}}\right)^{2}\left|\mathcal{F}\left\{u\left(x_{1}, y_{1}\right)\right\}\right|^{2}$$

 

그러나 interferometry와 같이, field의 phase가 절대적으로 중요한 경우, 해당 term이 반드시 고려된다.

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Examples

1. Rectangular Aperture

다음과 같이 describe 된 aperture에 plane wave가 impinging 한다고 가정해보자.

 

$$t\left(x_{1}, y_{1}\right)=\operatorname{rect}\left(\frac{x_{1}}{L_{x}}, \frac{y_{1}}{L_{y}}\right)$$

 

이 경우 diffracted field는 다음과 같이 주어진다.

 

$$\begin{aligned}
u\left(x_{2}, y_{2}\right) &=\left.\frac{e^{j k z_{12}}}{j \lambda z_{12}} \exp \left\{j \frac{\pi}{\lambda z_{12}}\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)\right\} \mathcal{F}\left\{u\left(x_{1}, y_{1}\right)\right\}\right|_{\xi=\frac{x_{2}}{\lambda z_{12}}, \eta=\frac{y_{2}}{\lambda z_{12}}} \\
&=\frac{e^{j k z_{12}}}{j \lambda z_{12}} \exp \left\{j \frac{\pi}{\lambda z_{12}}\left(x_{2}^{2}+y_{2}{ }^{2}\right)\right\} \operatorname{sinc}\left(\frac{L_{x} x_{2}}{\lambda z_{12}}, \frac{L_{y} y_{2}}{\lambda z_{12}}\right)
\end{aligned}$$

2. Circular Aperture

다음과 같이 define 된 circular aperture에 impinging 하는 normally incident plane wave를 고려해보자.

 

$$t\left(r_{1}\right)=\operatorname{cyl}\left(\frac{r_{1}}{L}\right)$$

 

이 경우 diffracted field는 다음과 같다.

 

$$\begin{aligned}
u\left(r_{2}\right) &=\frac{e^{j k z_{12}}}{j \lambda z_{12}} e^{j \frac{\pi r_{2}}{\lambda z_{12}}} \mathcal{F}\left\{\operatorname{cyl}\left(\frac{r_{1}}{L}\right)\right\} \\
&=\frac{e^{j k z_{12}}}{j \lambda z_{12}} \exp \left\{j \frac{\pi r_{2}^{2}}{\lambda z_{12}}\right\} \frac{L \pi}{4} \operatorname{somb}\left(\frac{L r_{2}}{\lambda z_{12}}\right)
\end{aligned}$$

3. Sinusoidal Grating

다음과 같은 Transmission이 존재하는 sinusoidal grating에 normally incident 하는 plane wave를 고려해보자.

 

$$t\left(x_{1}, y_{1}\right)=\frac{1}{2}+\frac{m}{2} \cos \left(2 \pi \xi_{0} x\right)$$

 

이 grating은 infinite 한 extent를 가지고 있다. 엄밀히 말하면, $L_1 = \infty$이므로, Fraunhofer zone에는 절대 들어갈 수 없다. 우리는 이를 잠시 무시할 것이고, 이러한 조건에서 diffracted field는 다음과 같다.

 

$$\begin{aligned}
u\left(x_{2}, y_{2}\right) &=\frac{e^{j k z_{12}}}{j \lambda z_{12}} \exp \left\{j \frac{\pi}{\lambda z_{12}}\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)\right\} \mathcal{F}\left\{\frac{1}{2}+\frac{m}{2} \cos \left(2 \pi \xi_{0} x_{1}\right)\right\} \\
&=\left.\frac{e^{j k z_{12}}}{j \lambda z_{12}} \exp \left\{j \frac{\pi}{\lambda z_{12}}\left(x_{2}{ }^{2}+y_{2}{ }^{2}\right)\right\} \delta(\eta)\left[\frac{1}{2} \delta(\xi)+\frac{m}{4} \delta\left(\xi-\xi_{0}\right)+\frac{m}{4} \delta\left(\xi+\xi_{0}\right)\right]\right|_{\xi=x_{2} / \lambda z_{12}, \eta=y_{2} / \lambda z_{12}}
\end{aligned}$$

 

위 수식은 우리가 0th order와 1st, 그리고 -1st order를 가질 것이라는 것을 알려준다. diffracted order는 각각 0-order만큼 $m \over 2$가 된다(intensity의 $m^2 \over 4$). 이 개념은 아래 그림에 대략적으로 설명되어있다.

이제 grating이 finite 할 때 어떤 일이 일어나는지에 대해 생각해보자.

 

$$t\left(x_{1}, y_{1}\right)=\left[\frac{1}{2}+\frac{m}{2} \cos \left(2 \pi \xi_{0} x\right)\right] \operatorname{cyl}\left(\frac{r}{D}\right)$$

 

Fourier Transform property에 의해 diffracted field는 다음과 같다.

 

$$\begin{aligned}
u\left(x_{2}, y_{2}\right)=& \frac{e^{j k z_{12}}}{j \lambda z_{12}} \exp \left\{j \frac{\pi}{\lambda z_{12}}\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)\right\}\left[\frac{1}{2} \operatorname{somb}\left(\frac{D}{\lambda z_{12}} \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\right)+\right.\\
&\left.\cdots \frac{m}{4} \operatorname{somb}\left(\frac{D}{\lambda z_{12}} \sqrt{\left(x_{2}-\xi_{0} \lambda z_{12}\right)^{2}+y_{2}{ }^{2}}\right)+\frac{m}{4} \operatorname{somb}\left(\frac{D}{\lambda z_{12}} \sqrt{\left(x_{2}+\xi_{0} \lambda z_{12}\right)^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right]
\end{aligned}$$

 

이 경우 diffraction grating의 three order에 해당하는 3 개의 Airy disk가 존재함을 알 수 있다. airy disk의 width는 diffraction grating D의 size로 설정되며, diffraction order의 location은 $(x_2, y_2) = (0,0), (x_2, y_2) = (\xi_0\lambda z_{12},0)$ 그리고 $(x_2, y_2) = (-\xi_0 \lambda z_{12}, 0)$이다.

4. Oblique incidence

이제 z-axis에 대해 angle $\theta_0$로 propagate 되는 plane wave에 의해 illuminate 되는 infinite diffraction grating에 대해 생각해보자. propagating field는 $e^{j \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}$에 의해 주어지며, $z=0$ plane의 illimination은 다음과 같다.

 

$$u_{i n}\left(x_{1}, y_{1}\right)=e^{j k x_{1} \sin \theta_{0}}$$

 

Grating을 벗어나는 field는 다음과 같다.

 

$$u\left(x_{1}, y_{1}\right)=e^{j k x_{1} \sin \theta_{0}} t\left(x_{1}, y_{1}\right)$$

 

이때, diffraction field는 다음과 같다.

 

$$\begin{aligned}
u\left(x_{2}, y_{2}\right)=& \frac{e^{j k z_{12}}}{j \lambda z_{12}} \exp \left\{j \frac{\pi}{\lambda z_{12}}\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)\right\} \delta(\eta) \times \\
& \cdots\left[\frac{1}{2} \delta\left(\xi-\frac{\sin \theta_{0}}{\lambda}\right)+\frac{m}{4} \delta\left(\xi-\xi_{0}-\frac{\sin \theta_{0}}{\lambda}\right)+\frac{m}{4} \delta\left(\xi+\xi_{0}-\frac{\sin \theta_{0}}{\lambda}\right)\right]
\end{aligned}$$

 

Finite aperture를 고려한다면, 우리는 example 3의 마지막 수식과 유사한 결과를 얻지만, 이제 order의 location이 $\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(z_{12} \sin \theta_{0}, 0\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(\xi_{0} \lambda z_{12}+z_{12} \sin \theta_{0}, 0\right)$ 및 $\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(-\xi_{0} \lambda z_{12}+z_{12} \sin \theta_{0}, 0\right)$이 된다. three order 모두 angle $\theta_0$에 의해 opticla axis에 대해 기울어지게 되고 이는 아래 그림에 묘사된 것과 같다.

 

5. Two-slit Interference

마지막으로 Two-slit interference의 경우를 고려해보자. plane wave는 아래 그림에 묘사된 것과 같은 transmission function을 가지는 opaque screen에서 발생하고, 이는 수식으로 다음과 같다.

 

$$t\left(x_{1}, y_{1}\right)=\operatorname{rect}\left(\frac{x_{1}-a / 2}{d}\right)+\operatorname{rect}\left(\frac{x_{1}+a / 2}{d}\right)$$

 

이 경우 y-direction slit의 infinite extent neglecting이 발생하고, 이는 다음과 같다.

 

$$\begin{aligned}
u\left(x_{2}, y_{2}\right) &=\frac{e^{j k z_{12}}}{j \lambda z_{12}} \exp \left\{j \frac{\pi}{\lambda z_{12}}\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)\right\}|d| \operatorname{sinc}\left(\frac{d x_{2}}{\lambda z_{12}}\right)\left(e^{j \pi \xi a}+e^{-j \pi \xi a}\right) \\
&=\frac{e^{j k z_{12}}}{j \lambda z_{12}} \exp \left\{j \frac{\pi}{\lambda z_{12}}\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)\right\} 2|d| \operatorname{sinc}\left(\frac{d x_{2}}{\lambda z_{12}}\right) \cos \left(\frac{\pi x_{2} a}{\lambda z_{12}}\right)
\end{aligned}$$

 

이로 인해 발생하는 interference pattern은 아래 그림에 나타난 것과 같다. Fringe pattern은 optical radiation에 의해 determine 되며, Fringe pattern(이 경우에는 sinc-squared)를 modulate 하는 window는 slit shape의 diffraction pattern에 의해 결정된다. slit이 narrow 할수록, envelope가 uniform 해진다.