Lec 17. Fresnel Diffraction

본 게시물은 University of Arizona의 Prof. J. Scott Tyo의 OPTI512R 강의를 보고 정리한 내용입니다.
전공자가 아닌 만큼 부정확한 정보가 포함되어 있을 수 있습니다.
부정확한 정보가 있다면 알려주시면 감사하겠습니다.

 

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The Fresnel Region

지난 Lecture에서 우리는 Aperture의 far-field에서 Fraunhofer diffraction을 보았다. Aperture가 $L_1$의 radius를 가지는 circle에 의해 limit 되었다는 점을 감안할 때, 우리는 다음이 성립할 때, 우리가 Fraunhofer region에 있다는 것을 발견하였다.

 

$$z_{12}>>\frac{\pi L_{1}^{2}}{\lambda}$$

 

이러한 far field(Fraunhofer region)을 describe 할 수 있는 다양한 Qualitative way가 존재하는데, 여기에는 다음이 포함된다. Fraunhofer region이 되기 위한 조건 정도로 생각하는 것이 좋을 것 같다.

 

• Spherical wave가 locally planar 하게 보이게 된 후의 distance
• Electromagnetic wavefront가 spherical 된 후의 distance
• Electric과 Magnetic의 ratio가 $\eta = \sqrt{\mu \over \epsilon}$이 된 후의 distance
• Field strength가 $1 \over r$로 떨어진 후의 distance
• Field distribution의 shape가 distance z가 아닌 obeservation angle의 function가 된 후의 distance

위와 같은 Fraunhofer region이 되는 condition을 만족하는 distance이전의 region들이 존재하는 것은 분명하다. 아래 그림과 같이 Aperture에 매우 가까운 intensity는 aperture shape에 근사한 형태를 띠고 있다. aperture에서 매우 멀리 떨어진, Fraunhofer zone에서는 aperture opening의 Foureir Transform에 의해 intensity가 describe 되며, 더 멀리 떨어지더라도 shape가 일정하게 유지된다.

 

이러한 Near-field와 Far-field 사이에 Fresnel region이라고 알려진 region이 존재하며, 이 region에서는 Field가 aperture의 shape에서, Fourier Transform의 shape로 continuously change 한다. 이 change는 천천히 발생하며, 항상 Maxwell's equation을 만족해야 한다.

 

다시 한번 Rayleigh-Sommerfeld diffraction integral에 대한 Kirchhoff approximation을 고려해보자.

 

$$u_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)=\iint_{-\infty}^{\infty} u_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right) \frac{z_{12}}{j \lambda r_{12}} \frac{e^{j k r_{12}}}{r_{12}} d x_{1} d y_{1}$$

 

이전 Lecture에서와 같이 우리는 distance $r_{12}$를 다음과 같이 정의한다.

 

$$r_{12}=z_{12} \sqrt{1+\left(\frac{x_{2}-x_{1}}{z_{12}}\right)^{2}+\left(\frac{y_{2}-y_{1}}{z_{12}}\right)^{2}}$$

 

Fraunhofer zone에서 aperture 쪽으로 다시 이동하면 ($z_{12}$가 decrease 됨) Square root에 대한 Taylor series approximation의 additional term을 고려해야 한다. Taylor series의 첫 3항을 작성하면 다음이 된다.

 

$$\begin{aligned}
&k z_{12} \sqrt{1+\left(\frac{x_{2}-x_{1}}{z_{12}}\right)^{2}+\left(\frac{y_{2}-y_{1}}{z_{12}}\right)^{2}} \\
&\approx k z_{12}+\frac{k}{2 z_{12}}\left[\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}\right]-\frac{k}{8 z_{12}{ }^{3}}\left[\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}\right]^{2}+\ldots
\end{aligned}$$

 

Fraunhofer zone에서 우리는 위 수식의 마지막 term을 완전히 무시하고, $\left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right) / z_{12}^{2}$와 같은 varied term 또한 discard 하였다. $z_{12}$가 감소함에 따라, 우리는 이제 위 수식의 오른쪽 마지막 term을 discard 할 수 있는 condition을 찾아, Fresnel condition을 생성한다.

 

 

우리는 이미 Aperture를 $L_1$의 radius를 가지도록 limit 하였고, 이제 위 그림과 같이 Radius가 $L_2$인 circle안에 포함되도록, observation을 제한하면, 우리는 다음과 같이 말할 수 있다.

 

$$\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2} \leq\left(L_{1}+L_{2}\right)^{2}$$

 

만약 마지막 term이 1 radian 보다 작다면, exponential에 미치는 effect를 무시할 수 있다. 이 condition은 다음과 같다.

 

$$z_{12}^{3}>>\frac{\pi\left(L_{1}+L_{2}\right)^{4}}{4 \lambda}$$

 

또한 우리는 다음을 작성할 수 있다.

 

$$u_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)=\frac{e^{j k z_{12}}}{j \lambda z_{12}} \iint_{-\infty}^{\infty} u_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right) \exp \left\{j \frac{\pi}{\lambda z_{12}}\left[\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}\right]\right\} d x_{1} d y_{1}$$

 

위의 condition은 우리가 언제 Fresnel region에 존재하는지를 알려준다. 다만, Fresnel region은 $\infty$까지 extend 되어 있기 때문에, Fraunhofer region은 Fresnel region의 일부라는 점에 주의해야 한다. Fresnel region이 반드시 aperture의 far-field에 존재하지 않는다는 점도 주의해야 한다. Fresnel region의 시작점은 desired observation을 나타내는 circle $L_2$의 radius에 따라 달라진다. Fresnel region은 실제로 더 멀리 있는 observation point보다 axis 근처의 observation point에 대한 aperture에 더 가깝게 시작된다.

 

Kirchhoff diffraction integral에 대한 Fresnel approximation에 대해 생각해보자. Kirchhoff integral에는 kernel $exp{jkr_{12}}$가 존재한다. 우리는 이 kernel이 우리에게 spherical wave front와 spherical wave를 제공한다는 것을 알 고있다. Fresnel approximation에서 우리는 다음을 replcae 한다.

 

$$e^{j k r_{12}} \approx \exp \left\{j \frac{\pi}{\lambda z_{12}}\left[\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}\right]\right\}$$

 

Fresnel approximation은 spherical wave를 취하며, quadratic phase curvature로 approximate 한다. $x_1=0$이고, $y_1 = 0$일 때, point source가 origin에 존재하면 우리는 아래와 같은 field를 가진다.

 

$$u_{0}\left(x_{2}, y_{2}\right) \approx \frac{e^{j k z_{12}}}{j \lambda z_{12}} e^{j \frac{\pi}{\lambda z_{12}}\left(x_{2}{ }^{2}+y_{2}{ }^{2}\right)}$$

 

위 수식의 오른쪽 항은 spherical wave에 대한 quadratic phase curvature approximation(Fresnel approximation)을 의미한다. Fraunhofer region은 Spheircal wave front가 planar shape에 가까워질 때, 도달한 반면, Fresnel region은 아래 그림에서와 같이 Spherical wave front가 parabolic shape에 가까워질 때, 시작된다.

 

이 시점부터, 앞으로 다음의 term을 볼 때마다 우리는, 그것을 obesrvation plane에서 curvature이 $R$인 spherical wave에 대한 quadratic approximation으로 인식해야 한다.

 

$$u(x, y) \propto e^{j \frac{\pi}{\lambda R}\left(x^{2}+y^{2}\right)}$$

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The Fresnel Diffraction Integral

$$u_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)=\frac{e^{j k z_{12}}}{j \lambda z_{12}} \iint_{-\infty}^{\infty} u_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right) \exp \left\{j \frac{\pi}{\lambda z_{12}}\left[\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}\right]\right\} d x_{1} d y_{1}$$

앞서 유도한 위의 수식은 $u_1(x_1, y_1)$에 의해 주어진 aperture에 있는 field의 Fresnel transform으로 알려져 있다. fresnel transform은 Fourier Transform과 유사한 형태를 띠지만, $exp\{j2\pi \xi x\}$ 및 $exp{j2\pi x^2}$ 형식의 term을 포함하기 때문에, 더 복잡하다. 

 

위 수식을 다시 보면, 우리는 Fresnel transform이 다음과 같은 Impulse response를

 

$$h_{12}(x,y) = {e^{jkz_{12}} \over j \lambda z_{12}} exp \left\{ jk {\pi \over \lambda z_{12}}(x^2 + y^2)\right\}$$

 

정의하는 다음과 같은 convolution integral의 property를 가지는 것으로 보인다.

 

$$u_2(x,y) = u_1(x,y) * h_{12}(x,y)$$

 

또한 우리는 다음과 같은 Transfer function을 가지게 된다.

 

$$H_{12} (\xi, \eta) = e^{jkz_{12}} e^{-j\pi \lambda z_{12}(\xi^2 + \eta^2)}$$

 

이는 우리가 LSI System의 측면에서 optical propagation을 고려하고, image propagation 방식에서도 impulse response(Point-spread function이라고 불린다.)과 transfer function을 모두 고려한 첫 사례이다.

 

1. Using Fourier Transform to Evaluate Fresnel Diffraction

Fresnel transform의 definition을 받아들여, term을 extend 하면 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

$$\begin{aligned}
u_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right) &=\frac{e^{j k z_{12}}}{j \lambda z_{12}} e^{j \frac{\pi}{\lambda z_{12}}\left(x_{2}{ }^{2}+y_{2}{ }^{2}\right)} \iint_{-\infty}^{\infty} u_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right) e^{j \frac{\pi}{\lambda z_{12}}\left(x_{1}{ }^{2}+y_{1}{ }^{2}\right)} e^{-j \frac{2 \pi}{\lambda z_{12}}\left(x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}\right)} d x_{1} d y_{1} \\
&=\left.\frac{e^{j k z_{12}}}{j \lambda z_{12}} e^{j \frac{\pi}{\lambda z_{12}}\left(x_{2}{ }^{2}+y_{2}{ }^{2}\right)} \mathcal{F}\left\{u_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right) e^{j \frac{\pi}{\lambda z_{12}}\left(x_{1}{ }^{2}+y_{1}{ }^{2}\right)}\right\}\right|_{\xi=\frac{x_{2}}{\lambda z_{12}}, \eta=\frac{y_{2}}{\lambda z_{12}}}
\end{aligned}$$

 

위 equation은 aperture plane에서 phase curvature term에 의해 modify 된 aperture field의 Fourier Transform을 사용하여 Fresnel diffraction pattern을 계산할 수 있음을 나타낸다.

 

이 Diffraction integral의 다양한 부분에 대해 자세히 알아보도록 하자. integral에 선행하는 observation position $(x_2, y_2)$의 관점에서, spherical curvature term이 존재한다. integrand 내에는, Fraunhofer diffraction에서 볼 수 있는 linear Fourier Transform kernel이 있지만, source position$(x_1, x_2)$에 관한 spherical curvature term 또한 존재한다. 우리가 충분히 먼 거리$(z_{12} \rightarrow \infty)$에 있을 때, Fourier Transform 내부의 spherical curvature term을 무시할 수 있으며, Fresnel Diffraction approximation은 Fraunhofer approximation으로 감소한다.

 

다음의 예를 통해 자세히 알아보도록 하자. 우리의 aperture는 radius가 $1 cm$인 circular shape을 띄고 있다. wavelength는 $1 \mu m$이고, Fresnel distance는 $20 cm$, Fraunhofer distance는 $315 m$로 계산된다. numerical reason으로 인해 우리는 Fresnel zone 내부에 존재하는 세 개의 서로 다른 Fresnel diffraction pattern을 계산하고, 우리는 field가 상당히 복잡한 distribution에서 Fraunhofer pattern으로 진화하는 것을 확인할 수 있다. distribution은 far-field limit가 훨씬  낮더라도, $50m$ distance에서 대략적으로 Fraunhofer가 된다. 이러한 결과는 아래 그림에 나타나 있다.

 

2. Fresnel integral and the Cornu spiral

이전 section에서 우리는 Fourier Transform을 사용하여 Fresnel diffraction integral을 evaluate 하는 방법을 살펴보았다. 이 section에서는 Fresnel integral을 통한 Fresnel transform에 대한 direct evaluation에 대해 알아보도록 할 것이다. evaluation의 예로서, Rectangular aperture으로부터의 Fresnel diffraction을 생각해 보자. Aperture의 Transmission function은 다음과 같다.

 

$$t(x_1, y_1) = rect({x_1 \over a}, {y_1 \over b})$$

 

이 경우, Normally-incident plane wave illumination을 가정할 때, 우리는 diffraction을 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

$$\begin{aligned}
u_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right) &=\frac{e^{j k z_{12}}}{j \lambda z_{12}} \iint_{-\infty}^{\infty} t\left(x_{1}, y_{1}\right) e^{j \frac{\pi}{\lambda_{12}}\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} d x_{1} d y_{1} \\
&=\frac{e^{j k z_{12}}}{j \lambda z_{12}}\left[\int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{rect}\left(\frac{x_{1}}{a}\right) e^{j \frac{\pi}{\lambda z_{12}}\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}} d x_{1}\right]\left[\int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{rect}\left(\frac{y_{1}}{b}\right) e^{j \frac{\pi}{\lambda z_{12}}\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} d y_{1}\right] \\
&=\frac{e^{j k z_{12}}}{j \lambda z_{12}} I_{x} I_{y}
\end{aligned}$$

 

Fresnel integral은 다음과 같이 정의된다.

 

$$\begin{aligned}
I(x) &=\int_{0}^{\infty} e^{j \frac{\pi}{2} \alpha^{2}} d \alpha \\
&=C(\eta)+j S(\eta) \\
C(x) &=\int_{0}^{\eta} \cos \left(\frac{\pi}{2} \alpha^{2}\right) d \alpha \\
S(x) &=\int_{0}^{\eta} \sin \left(\frac{\pi}{2} \alpha^{2}\right) d \alpha .
\end{aligned}$$

 

이를 활용한 흥미로운 예제는 $S(x)$를 x로 parameterized 된 $C(x)$의 function으로 plot 하는 것이다. 이 plot은 아래 그림에 표시된 Cornu spiral으로 알려진 spiral을 생성한다. 

Spiral은 integral이 finite number로 asymptotical 하게 evaluate 된다는 것을 imply 하는 것처럼 보이지만, 우리는  그 이상을 예상해야 한다. 우리는 다음을 evaluate 할 수 있다.

 

$$\begin{aligned}
I(\infty) &=\int_{0}^{\infty} e^{j \frac{\pi}{2} \alpha^{2}} d \alpha \\
&=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{j \frac{\pi}{2} \alpha^{2}} d \alpha
\end{aligned}$$

 

또한 우리는 위 수식을 moment theorem을 사용하여 다음과 같이 evaluate 할 수 있다

 

$$\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{j \frac{\pi}{2} \alpha^{2}} d \alpha=\left.\frac{1}{2} \mathcal{F}\left\{e^{j \frac{\pi}{2} \alpha^{2}}\right\}\right|_{\xi=0}=\frac{\sqrt{2}}{2} e^{j \frac{\pi}{4}}=\frac{1}{2}+\frac{j}{2}$$

 

위 그림을 보면 Spiral이 asymptotical 하게 point ${1\over2} + j{1\over2}$와 $-{1\over2}-j{1\over2}$에 접근한다는 것을 알 수 있다. 우리의 Integral $I_x$와 $I_y$는 Fresnel integral과 꽤 다르다. 이것을 바로잡기 위해서, 우리는 그들을 약간 수정해야 한다. $I_x$부터 시작해보자.

 

$$\begin{aligned}
I_{x} &=\int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{rect}\left(\frac{x_{1}}{a}\right) e^{j \frac{\pi}{\lambda z_{12}}\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}} d x_{1} \\
&=\int_{x_{1}=a / 2}^{x_{1}=a / 2} e^{j \frac{\pi}{\lambda z_{12}}\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}} d x_{1} \\
&=\int_{u=x_{2}-a / 2}^{u=x_{2}+a / 2} e^{j \frac{\pi}{\lambda z_{12}} u^{2}} d u \\
&=\sqrt{\frac{\lambda z_{12}}{2}} \int_{\eta_{a}}^{\eta_{b}} e^{j \frac{\pi}{2} \eta^{2}} d \eta \\
&=\sqrt{\frac{\lambda z_{12}}{2}}\left(I\left(\eta_{b}\right)-I\left(\eta_{a}\right)\right) .
\end{aligned}$$

 

위 수식에서 $\eta_a = \sqrt{2/z_{12}\lambda}(x_2 -a/2)$와 $\eta_b = \sqrt{2/z_{12}\lambda}(x_2 +a/2)$이다. 위 수식의 integral의 upper limit와 lower limit는 aperture의 shape 뿐만 아니라, observation position에 따라 달라지는 것을 알 수 있다. 예를 들어 observation position이 axis에 있을 때$(x=2)$, integral의 range는 symmetric 하다. 그러나 observation position이 axis에서 벗어나면, integral rangel의 symmetry가 손실된다. 예를 들면, observer가 $+x_2$ 방향으로 이동하면, aperture의 top portion이 observer에 더 가까워지므로 symmetry가 깨진다.

 

Cornu spiral을 사용하는 방법을 이해하기 위해 $a = \sqrt{\lambda z_{12} /2}$와 같은 aperture가 있는 경우($1mm$ aperture가 $1 micron$ light에 의해 illuminate 되고, $2 m$ distance에서 observe)를 생각해 보자. Obeserver가 on-axis인 경우 우리는 $\eta_a = -{1\over 2}$와 $\eta_b = +{1 \over 2}$를 가진다. 우리는 Cornu spiral(Complex plane 위에 존재)에 $I(1 \over 2)$와 $I(- {1\over 2})$를 plot 할 수 있으며, total integral은 위 그림에서 두 point를 연결하는 red vector와 같다. 만약 우리가 axis로부터 $x_2 = a/2$만큼 벗어나면, $\eta_a = 0$이 되고, $\eta_b = 1$이 된다. 이러한 point들과, 해당 corresponding vector는 위 그림에서 green으로 plot 되어있다. 이제 axis로부터 $x_2 = 3a/2$가 되도록 더 벗어나면, $\eta_a =1$이 되고, $\eta_b = 2$가 되며, 이들은 위 그림에서 pink로 plot 되어있다. axis에서 더 멀어지면 멀어질수록, 두 point는 sprial 주위에서, $\eta_a, \eta_b \rightarrow \infty$ 및 $I(\eta_b) - I(\eta_a) \rightarrow 0$가 될 때까지, 서로를 추격한다.

 

물리적으로 이는 Vector의 한쪽 끝이 asymptotic point를 중심으로 rotating 하기 시작할 때, diffraction intensity는 상대적으로 일정하게 유지됨을 의미한다. 이렇게 되면, intensity는 어느 정도 ocillate 하다가, 0으로 떨어진다. axis에서 멀리 떨어져 있으면, $\eta_a, \eta_b \rightarrow \infty$이고, $I_x \rightarrow 0$이다.