Lec 9. Hankel Transform, Fourier Bessel Transform, and Radon Transform

본 게시물은 University of Arizona의 Prof. J. Scott Tyo의 OPTI512R 강의를 보고 정리한 내용입니다.
전공자가 아닌 만큼 부정확한 정보가 포함되어 있을 수 있습니다.
부정확한 정보가 있다면 알려주시면 감사하겠습니다.

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Hankel Transform

Optics에서 활용되는 많은 Two-Dimensional Function들은 Azimuthal Symmetry 하다. 대표적인 예로는 Circular lens와 Aperture가 있다. 우리는 대부분의 경우에서 Azimuth가 변화하지 않는 function들 만을 다룰 것이지만, 앞으로 학습할 Analysis tool은 다른 type에 symmetry에도 general 하게 적용 가능하다.

 

다음과 같은 Azimuthally symmetric 한 funciton이 있다고 하자.

 

$$g(x,y) = g(r) = g(\sqrt{x^2 + y^2})$$

 

위 function에 Fourier Transform을 수행하면 다음과 같다.

 

$$F(\xi, \eta) = \int \int^\infty_{-\infty} g(x,y) e^{-j2\pi (\xi x + \eta y)}dx dy \\ = \int \int^\infty_{-\infty} g(\sqrt{x^2 + y^2})e^{-j2\pi(\xi x + \eta y)}dx dy$$

 

위 수식에서 Variable을 $x = r \cos\theta$와 $y = r\sin \theta$로, Frequency variable에 대한 Cylindrical Coordinate system을 $\xi = \rho \cos \phi$와 $\eta  = \rho \cos \phi$로 정의하면 다음과 같은 수식을 얻는다.

 

$$F(\rho, \phi) = \int \int g(r) e^{-j2\pi \rho r (\cos \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi)}r dr d\theta \\ = \int^\infty_{r=0}rg(r) \int^{2\pi}_{\theta=0}e^{-j2\pi \rho r(\theta - \phi)}d\theta dr$$

 

Bessel function의 정의는 다음과 같다.

 

$$J_0(x) = {1 \over 2\pi} \int^{2\pi}_0 e^{-j x \cos(\theta-\phi)} d\theta$$

 

이는 앞서 살펴본 Azimuthally symmetric function의 Fourier transform 결과의 Interior integral과 같고, 이를 이용하여 수식을 정리하면 다음과 같은 결과를 얻게 된다.

 

$$G(\xi, \eta) = 2\pi \int^\infty_0 g(r)J_0(2\pi \rho r) rdr = G(\rho)$$

 

이를 통해 우리는 Circularly Symmetric 한 function은 Azimuthally symmetric 하다는 것을 알 수 있다. 이를 Forward 0-order Hankel Transform이라고 하며, Inverser Transform은 아래와 같다.

 

$$g(r) = 2\pi \int^\infty_0 G(\rho) J_0 (2\pi \rho r) \rho d\rho$$

 

0-order Hankel Transform은 Azimuthally symmetric 한 function의 Two-Dimensional Fourier Transform을 계산하는 특별한 방법 중 하나이기 때문에, 0-order Hankel Transform은 모든 Two-Dimensional Fourier Transform의 Property가 적용된다.

 

가장 많이 활용되는 3가지 Azimuthally symmetric function은 Cyl function, Gaus function, Somb, function이다.

somb function은 cyl function과 다음과 같은 관계를 가지고 있다.

 

$$cyl(r) \leftrightarrow {\pi \over f} somb(\rho)$$

 

앞선 Lecture에서 우리는 rect function의 sinc function으로 transform 된다는 사실을 확인하였고, cyl function은 Cylindrical Coordinate에서의 rect function이기 때문에 cyl function의 Fourier transform이 Cylindrical Coordinate에서의 sinc function인 somb function이 될 것이라는 것을 예측할 수 있다. 마찬가지로 Gaus function의 0-order Hankel transform은 다음과 같다.

 

$$Gaus(r) \leftrightarrow Gaus(\rho)$$

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Fourier-Bessel Transform

이전 section에서의 derivation은 $(x,y)-$plane에서 Azimuthally symmetric 한 function에 한정되었지만, 대부분의 많은 function들은 이러한 symmetry를 가지지 않는다. 이러한 function들 중 일부는 Azimuthal Fourier Transform의 관점에서 다음과 같이 정의될 수 있다.

 

$$f(r, \theta) = \sum^\infty_{m=-\infty} f_m(r) e^{jm\theta}$$

 

Exponential Function과의 Orthogonality를 통해 위 수식의 양 변에 $e^{-in \theta}$를 곱하고, $0 ~ 2\pi$까지 Integrating 하여 $f_m(r)$을 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

$${1\over 2\pi} \int^{2\pi}_{\theta=0} f(r, \theta) e^{-jn\theta} d\theta = {1\over 2\pi}\int^{2\pi}_{\theta=0} \sum^\infty_{\theta =0} f_m(r) e^{j(m-n)\theta}d\theta \\ = {1\over 2\pi} \sum^\infty_{m=-\infty}\int^{2\pi}_{\theta=0}e^{i(m-n)\theta} d\theta \\={1\over 2\pi} \sum^\infty_{m=-\infty}f_m(r)2\pi \delta_{nm}\\ = f_m(r)$$

 

위 수식을 활용하여 Two-Dimensional Fourier Transform을 수행하면 다음과 같다.

 

$$F(\rho, \phi) = \int^\infty_{r=0} \int^{2\pi}_{\theta=0}\sum^\infty_{m=-\infty} f_m(r) e^{jm \theta} e^{-j2\pi \rho r (\cos\theta \cos\phi + \sin\theta\sin\phi)}rdr d\theta \\ =\sum^\infty_{m=-\infty}\int^\infty_{r=0} \int^{2\pi}_{\theta=0} f_m(r)e^{jm\theta} e^{-j2\pi \rho r \cos(\theta-\phi)}d\theta dr \\ = \sum^\infty_{m=-\infty}\int^\infty_{r=0}f_m(r)r\int^{2\pi}_{\theta=0}e^{jm\theta} e^{-j2\pi \rho r \cos(\theta-\phi)}d\theta dr$$

 

이를 계산하기 위해 다음과 같은 Variable Transformation을 수행해야 한다.

 

$$\alpha = \theta - \phi - \pi \\ d\alpha = d\theta$$

 

이를 적용하여 위 수식을 계산하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

 

$$F(\rho, \phi) = \sum^\infty_{m=-\infty} e^{jm\phi}e^{jm\pi} \int^\infty_{r=0} f_m(r) r \int^{2\pi}_{0} e^{im\alpha}e^{j2\pi \rho r cos\alpha} d\alpha dr$$

 

또한 위 수식은 아래의 관계를 활용하여 

$$J_n(x) = {1 \over 2\pi j^n}\int^{2\pi}_0 e^{jx \cos\theta}e^{jn\theta} d\theta$$

 

다음과 같이 정리될 수 있다.

 

$$F(\rho, \phi) = 2\pi \sum^{2\pi}_{m=-\infty} e^{jm\phi}(-j)^m \int^\infty_{r=0} f_m(r)J_m(2\pi \rho r) rdr \\ = \sum^\infty_{m=-\infty} e^{jm(\phi - {\pi \over 2})}
F_m(\rho)$$

 

이때

 

$$F_m(\rho) = 2\pi \int^\infty_{r=0} f_m(r)J_m(2\pi \rho r) rdr$$

 

이고, Bessel function의 Orthogoanlity를 활용하여 다음을 얻을 수 있다.

 

$$f_m(r) = 2\pi \int^\infty_{r=0} F_m(\rho) J_m(2\pi \rho r_\rho )d\rho$$

 

이는 곧 Fourier-Bessel transform이 self reciprocal 하다는 것을 의미한다.

 

위 수식들을 통해 우리는 Hankel Transform이 보다 일반적인 Fourier-Bessel transform의 단일 항이라는 것을 알 수 있다. 다만 Fourier-Bessel Series는 일반적으로 완전하지 않으며 이는 Expansion이 1종 Bessel function에서만 발생되기 때문이다. 2종 Bessel function은 $r\rightarrow0$으로 diverge 하는데, 이는 set에서 제외된 function이 origin에서 정의되지 않는다는 것을 의미한다.

 

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Radon Transform

Two-Dimensional Convolution의 아주 특별한 경우를 알아보도록 하자, One-Dimensional delta function과 Two-Dimensional function 간의 convolutional은 다음과 같다.

 

$$f(x,y)*\delta(x) = \int\int f(\alpha, \beta)\delta(x-\alpha)d\alpha d\beta \\ = \int f(x, \beta)d\beta = p(x)$$

 

여기서 $p(x)$는 아래 그림과 같이 Two-dimensional function의 One-dimension으로의 projection을 나타내기 위해 사용되는 notation이다.

 

이 Projection에 대한 Fourier Transform은 다음과 같다.

 

$$\mathcal{F} \{p(x)\} = P(\xi)\delta(\eta)$$

 

Convolution Theorem을 활용하여 이를 다음과 같이 정리할 수 있다.

 

$$\mathcal{F} \{p(x)\}  = \mathcal{f(x,y) * \delta(x)} \\ = F(\xi, \eta)\delta(\eta) \\ = F(\xi, 0)\delta(\eta)$$

 

위 수식은 Radon Transform으로 알려진 매우 중요한 수식으로, Two-Dimensional function의 One-Dimensional Projection의 Fourier Transform이 Two-Dimensional Fourier Transform의 One-dimensional Slice를 제공한다는 것을 알려준다. 이러한 이유로 Radon Transform은 Projectiun-slice theorem이라고 불린다. 만약 어떤 object를 어느 정도 rotate 하고, 두 번 projection을 한다면, 우리는 2개의 각기 다른 Angle에 대한 Fourier transform의 slice를 얻게 된다. 이러한 방법을 활용하여 아래 그림과 같이 다양한 각도에서 object를 projection 하여 slice-by-slice로 Two-Dimensional Fourier Transform을 bulid up 할 수 있다. 이는 CT(Computed Tomography)의 기본 원리이다.