Lec 20. Physical Optics Description of Imaging System

본 게시물은 University of Arizona의 Prof. J. Scott Tyo의 OPTI512R 강의를 보고 정리한 내용입니다.

전공자가 아닌 만큼 부정확한 정보가 포함되어 있을 수 있습니다.
부정확한 정보가 있다면 알려주시면 감사하겠습니다.

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Imaging Condition

이전 Lecture들을 통해 우리는 Lens의 Back focal plane에서 Lens의 Fourier Transform property에 대해 알게 되었고, 이제 lens의 performance를 보다 generally 하게, 그리고 useful 할 수 있는 다른 surface에서 고려할 준비가 되었다. 아래 그림에 나타난 System을 생각해보자.

 

우리는 diffraction problem이 linear 하다는 것을 알고 있다. Linear 하기 때문에(반드시 shift invariant하지 않아도), problem을 object plan $(x_0, y_0)$의 point source의 collection으로 break up 하고, system을 통해 각 point source의 radiation을 track 하고, 우리가 choose 한 particular observation position에서 resuliting field를 add up 할 수 있다. position $(x_0, y_0)$에 있는 point source가 image $h(x_i, y_i;x_o, y_o)$를 생성한다고 가정하자. 이 notation은 image가 observer의 location $(x_i, y_i)$와 source location $(x_o, y_o)$에 따라 다르다는 것을 의미한다. 이제 superposition integral의 관점에서 image plane $(x_i, y_i)$에 field를 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

$$u_i(x_i, y_i) = \int\int u_o(x_o, y_o)h(x_i, y_i; x_o, y_o) dx_ody_o$$

 

위 수식은 $(x_o, y_o)$(가능한 모든 source position $(x_o, y_o)$)에서의 $\delta-$function에 대한 response를 determine 할 수 있다면, convolution integral을 사용하여, 임의의 input에 대한 image plane field를 evaluate 할 수 있음을 나타낸다.

 

이 시점에서 우리는 imaging system에 대한 knowledge를 사용하여 problem을 simplify 할 것이다. Ideal imaging system은 $\delta-$function인 object를 take 하고, position $(x_i, y_i) = (M_{x_o}, M_{y_o})$(여기서 $M$은 System magnification)에서 $\delta-$function인 image를 form 할 것이라는 것을 알고 있다. 이는 우리가 다음과 가능한 한 가까운 condition을 찾기를 원한다는 것이다.

 

$$h(x_i, y_i; x_o. y_o) \approx k \delta(x_i - M x_o, y_i -M y_o)$$

 

이때, $k$는 constant이다. $(x_o. y_o)$ position에서 point source를 가정하기 때문에, paraxial approximation을 사용하여 lens에 incident 하는 field를 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

$$u_\ell (x,y) = {e^{jkd_o} \over j \lambda d_o} e^{j {\pi \over \lambda d_o}((x-x_o)^2 + (y-y_0)^2)}$$

 

Lens에 pupil function $P(x,y)$가 있는 경우, Lens를 떠나는 field는 다음과 같다.

 

$$\begin{aligned}
u_{\ell}^{\prime}(x, y) &=u_{\ell}(x, y) P(x, y) e^{-j \frac{\pi}{\lambda f}\left(x^{2}+y^{2}\right)} \\
&=\frac{e^{j k d_{o}}}{j \lambda d_{o}} P(x, y) e^{j \frac{\pi}{\lambda d_{o}}\left(\left(x-x_{o}\right)^{2}+\left(y-y_{o}\right)^{2}\right)} e^{-j \frac{\pi}{\lambda f}\left(x^{2}+y^{2}\right)} .
\end{aligned}$$

 

$ u(x,y)$를 알면, Fresnel diffraction formula를 작성하여 다음을 얻을 수 있다.

 

$$h\left(x_{i}, y_{i} ; x_{o}, y_{o}\right)=\frac{e^{j k d_{i}}}{j \lambda d_{i}} \iint u_{\ell}^{\prime}(x, y) \exp \left\{j \frac{\pi}{\lambda d_{i}}\left[\left(x_{i}-x\right)^{2}+\left(y_{i}-y\right)^{2}\right]\right\} d x d y$$

 

이제 우리는 모든 term을 모아 다음과 같은 full expression을 작성할 수 있다.

 

$$\begin{aligned}h\left(x_{i}, y_{i} ; x_{o}, y_{o}\right)=&-\frac{e^{j k\left(d_{o}+d_{i}\right)}}{\lambda^{2} d_{o} d_{i}} e^{j \frac{\pi}{\lambda d_{i}}\left(x_{i}{ }^{2}+y_{i}{ }^{2}\right)} e^{j \frac{\pi}{\lambda d_{0}}\left(x_{o}{ }^{2}+y_{o}{ }^{2}\right)} \times \\
& \iint{ }^{2} P(x, y) \exp \left\{j \frac{\pi}{\lambda}\left(\frac{1}{d_{0}}+\frac{1}{d_{i}}-\frac{1}{f}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)\right\} \exp \left\{-j 2 \pi\left[\left(\frac{x_{0}}{\lambda d_{o}}+\frac{x_{i}}{\lambda d_{i}}\right) x\left(\frac{y_{0}}{\lambda d_{o}}+\frac{y_{i}}{\lambda d_{i}}\right) y\right]\right\} d x d y
\end{aligned}$$

 

위 수식을 구간별로 살펴보도록 하자. 먼저 integral외부의 Quadratic phase curvature term부터 살펴보도록 하자. 첫 번째, term은 image coordinate $(x_i, y_i)$로 인한 curvature를 나타낸다. intensity만 고려한 imaging system으로 작업한다면 이 term은 무시할 수 있다. 다음으로 object coordinate $(x_o, y_o)$의 관점에서 quadratic phase curvature를 고려한다. 만약 우리에게 point source만 있다면, 우리는 이것을 무시할 수 있을 것이다. 그러나 이 term은 앞서 살펴본 아래의 수식에 포함되어 있다.

 

$$u_i(x_i, y_i) = \int\int u_o(x_o, y_o)h(x_i, y_i; x_o, y_o) dx_ody_o$$

 

이 term을 다루기 위해서 우리는 imaging system이 어떻게 작동하는지에 대한 지식을 활용해야 한다. System이 focus에 가깝고, well corrected 하다면, $h(x_i, y_i; x_o, y_o)$가 $\delta-$function에 가까울 것으로 예상한다. 즉, point $(x_i, y_i)$에서 measure 된 field가 point 주위의 neighborhood $(x_o = x_i/M, y_o = y_i/M)$에서 originate 한다는 의미이다. 이 region이 충분히 작다면, 우리는 대략적으로 다음을 얻는다.

 

$$exp \bigg \{ j{\pi \over \lambda d_o}({x_o}^2 + {y_0}^2) \bigg \} \approx exp \bigg \{ j {\pi \over {\lambda d_0 M^2}}({x_i}^2 + {y_i}^2)\bigg \}$$

 

그리고 우리는 $u_i(x_i, y_i)$에서 이 term을 빼내고, 무시하여 Intensity 만을 measure 할 수 있다.

 

Simplicity를 위해 우리는 integral앞에 오는 phase term을 제거하였다. 만약 우리가 다루려는 application이 interferometry나 phase-sensitive application이었다면, phase term이 중요하지만, 현재로서는 그렇지 않기 때문 phase-term을 생략하여 위에서 작성한 full expression을 아래와 같이 simplify 할 수 있다.

 

$$h(x_i, y_i; x_o, y_o) \approx {1\over \lambda2d_od_i}\int\int P(x, y) exp\bigg\{ \bigg ({1\over d_0} + {1\over d_i} − {1\over f}\bigg)(x^2 + y^2)\bigg \} \\exp\bigg \{−j2\pi \bigg ( {x_o\over \lambda d_o} + {x_i \over \lambda d_i} \bigg)x \bigg(  {y_o \over \lambda d_o} + {y_i \over \lambda d_i} \bigg)y\bigg ] \bigg \} dxdy$$

 

위 수식에서 우리는 integral 외부의, 모든 phase term을 제거하였다. 만약 우리가 다음의 condition을 만족하는 값을 선택한다면,

 

$$ {1 \over d_o} + {1 \over d_i} = {1\over f}$$

 

integral 내부의 quadratic curvature term이 사라지고, 다음이 남는다.

 

$$h(x_i, y_i; x_o, y_o) \approx {1\over \lambda2d_od_i}\int\int P(x, y) exp\bigg \{−j2\pi \bigg ( {x_o\over \lambda d_o} + {x_i \over \lambda d_i} \bigg)x \bigg(  {y_o \over \lambda d_o} + {y_i \over \lambda d_i} \bigg)y\bigg ] dxdy$$

 

위 condition은 Paraxial optics를 위한 imaging condition이다. 만약 우리가 다음과 같은 substitution을 취한다면,

 

$$\xi = {x_o \over \lambda d_o} + {x_i \over \lambda d_i} \\ \eta = {y_o \over \lambda d_o} + {y_i \over \lambda d_i}$$

 

$(x_i = -(d_i/d_o)x_0), y_i = -(d_i / d_o)y_o$에 해당하는 $(\xi  = 0, \eta = 0)$에서의 pupil function에 Fourier Transform에 의해 System의 Impulse response가 주어지는 것을 알 수 있다. 이 Spatial location은 geomertrical optics가 image에 대해 predict 하는 location과 동일하다.

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Impulse Response

이 시점에서 우리는 System이 LSI라는 것을 보여주는 것에 매우 근접해있다. 이제 우리는 $u_i(x_i, y_i) = \int\int u_o(x_o, y_o)h(x_i, y_i; x_o, y_o) dx_ody_o$이 Convolution integral의 형태를 취함을 입증하기 위해 약간의 varible change를 적용하여야 한다. 적용 이후에 우리는 지금까지 배운 LSI Sytstem의 모든 tool들을 imaging system에 적용시킬 수 있다.

 

만약 우리가 앞서 살펴본 paraxial image condition을 만족시켰다고 가정하면, 다음을 쓸 수 있다.

 

$$h(x_i, y_i; x_o, y_o) \approx {1\over \lambda2d_od_i}\int\int P(x, y) exp\bigg \{−j2\pi \bigg ( {x_o\over \lambda d_o} + {x_i \over \lambda d_i} \bigg)x \bigg(  {y_o \over \lambda d_o} + {y_i \over \lambda d_i} \bigg)y\bigg ] \bigg \} dxdy$$

 

Geometric optics에서와 같이 System magnification을 다음과 같이 define 하면,

 

$$M = {d_i \over d_o}$$

 

우리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

$$h(x_i, y_i; x_o, y_o) \approx {1\over \lambda2d_od_i}\int\int P(x, y) exp\bigg \{−j{2\pi \over\lambda d_i}[(x_i - Mx_0)x + (y_i - My_0)y]\bigg \} dxdy$$

 

위 수식은 paraxial imging condition이 만족될 때, system의 impulse response가 pupil function $P(x,y)$의 Fraunhofer diffraction과 동일하다는 것을 의미한다. 이 diffraction pattern은 $(x_i, y_i) = (M_{x_o}, M_{y_o}$의 center에 있다.

 

이제 Object-image relationship에 대해 알아보도록 하자. 우선 다음과 같이 몇 가지 Variable을 더 Substitute 해야 한다.

 

$$\tilde{x} = {x \over \lambda d_i}, \tilde{y} = {y \over \lambda d_i}$$

 

Variable $(\tilde{x}. \tilde{y})$는 inverse length의 unit 또는 spaital frequency를 가진다. 이제 aperture plane에 대한 integral은 이제 Inverse Fourier Transform을 수행하는 것과 동일하고, 아래와 같이 쓸 수 있다.

 

$$h(x_i, y_i; x_o, y_o) \approx −M\int\int P(\lambda d_i \tilde{x}, \lambda d_i \tilde y)e^{−j2\pi[(x_i−M_{x_o})\tilde{x}+(y_i−M_{y_o})\tilde{y}]}d\tilde{x}d\tilde{y}$$

 

Function $P(x,y)$는 충분히 큰 $x$와 $y$에 대해 0인 일종의 pulse function을 나타낸다. 그러나 $\lambda$가 충분히 작으면 $\lambda \rightarrow 0$이면, $P(\lambda d_i \tilde{x}, \lambda d_i \tilde y) \rightarrow 1$이기 때문에 pupil은 항상 열려있다. 이때 다음이 성립한다.

 

$$h(x_i, y_i; x_o, y_o) → −M\delta (x_i − M_{x_o}, y_i − M_{y_o}) \\ = − {1\over M}\delta \bigg ({x_i \over M} − x_o,{ y_i \over M} − y_o \bigg ) $$

 

위 수식은 $(x_i, y_i)$에서 observe 된 point image가 $(x_o, y_o) = ({x_i \over M}, {y_i \over M})$에 있는 point source로부터 왔다는 것을 나타낸다. 또한 field amplitude가 $1/M$으로 decrease 하여 energy가 conserve 된다.

 

$$u_i(x_i, y_i) ={1 \over M}u_o \bigg ({x_i \over M} , {y_i \over M} \bigg )$$

 

이러한 결과는 limit $\lambda \rightarrow 0$가 ray optics limit에 corresponds 한 것을 알 수 있으며, geometrical optics가 perfect image를 predict 한다는 것을 말해준다. 이 경우 abberation이 없는 thin lens를 가진다. abberation의 effect에 대해서는 나중에 고려할 것이다.

 

Wavelength가 finite 할 때, purpile 또한 finite 하고, diffraction의 effect도 고려해야 한다. 이를 위해 아래와 같이 variable을 한 번 더 번경하도록 하자.

 

$$\tilde{x}_o = Mx_o, \tilde{y}_o = My_o$$

 

이 변환을 통해 우리는 다음을 가진다.

 

$$\begin{aligned}
h\left(x_{i}, y_{i} ; x_{o}, y_{o}\right) &=M \iint P\left(\lambda d_{i} \tilde{x}, \lambda d_{i} \tilde{y}\right) \exp \left\{-j 2 \pi\left[\left(x_{i}-\tilde{x}_{o}\right) \tilde{x}+\left(y_{i}-\tilde{y}_{o}\right) \tilde{y}\right]\right\} d \tilde{x} d \tilde{y} \\
&=M^{2} \tilde{h}\left(x_{i}-\tilde{x}_{o}, y_{i}-\tilde{y}_{o}\right)
\end{aligned}$$

 

이때, $\tilde {h}(x, y) = (1/M)h(x, y)$이고, 위 수식은 매우 중요한 의미를 가지고 있다. 그것은, 우리의 impulse response가 shift invariant하다는 것을 말해준다. 즉, impulse response는 $x_i$와 $\tilde{x}_o$ 사이의 차이에 따라서만 달라지며, 그들의 individual position에 의해 달라지는 것이 아니다. 우리는 마침내 Aberration-free, in-focus system이 LSI라는 것을 보이는데 성공하였다. 이제 $u_i(x_i, y_i) = \int\int u_o(x_o, y_o)h(x_i, y_i; x_o, y_o) dx_ody_o$를 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

$$\begin{aligned}
u_{i}\left(x_{i}, y_{i}\right)=& \iint \tilde{h}\left(x_{i}-\tilde{x}_{o}, y_{i}-\tilde{y}_{o}\right)\left[\frac{1}{M} u_{o}\left(\frac{\tilde{x}_{o}}{M}, \frac{\tilde{y}_{o}}{M}\right)\right] d \tilde{x}_{o} d \tilde{y}_{o} \\
=& \tilde{h}\left(x_{i}, y_{i}\right) * u_{g}\left(x_{i}, y_{i}\right) \\
\end{aligned}$$

 

이때,

 

$$\qquad u_{g}(x, y)=\frac{1}{M} u_{o}\left(\frac{x}{M}, \frac{y}{M}\right)$$

 

는 geometrical optic 만으로 predict 되는 image이다. Impuse response는 다음과 같다.

 

$$\tilde{h}(x_i, y_i) =  P(\lambda d_i \tilde{x}, \lambda d_i \tilde{y})e^{−j2\pi (x_i \tilde{x} +y_i \tilde{y})}$$

 

위 수식은 diffraction의 effect가 geometrical optic에 의해 predict 된 image의 blurred version을 만드는 것임을 알려준다. System의 impulse response는 optical system의 pupil function의 Fourier Transform에 의해 주어진다. pupil이 클수록(wavelength의 term에서) 일반적으로 blurring이 적고, resolution이 높다. pupil이 작을수록(또는 fixed pupil 환경에서 long wavelength인 경우) blurring이 심해진다.

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Diffraction-Limited System

지금까지 우리는 thin lens에 대해 다루었다. 이는 Additional approximation을 minimize 할 수 있어 편리했다. 하지만 real optical system은 ideal thin lens로 만들어지지 않는다. 아래 그림에 나타난 geometry를 고려해보자. 우리의 optical system은 다양한 elements, surface, material로 구성되어 있다. 우리는 System을 blackbox로 간주하며, 이 box 안에서 우리는 ray를 tracing 하고, system의 performance를 predict 하기 위해 geometrical optics를 사용할 것이다. System의 enterance pupil과 exit pupil을  world로 통하는 window로 삼겠다. System의 performance를 고려할 때, object plane에서 enterance pupil로 field를 propagating 하기 위해 diffraction theory를 사용할 것이고, exit pupil field를 image plane으로 propagating 하기 위해 diffraction theory를 사용할 것이다.(실제로 우리는 일반적으로 real principal plane에서 $d_i$를 측정하기 때문에, 실제로는 principle plane에 대한 exit pupil의 geometric projection에 대해 다루고 있다.)

 

이 Model의 context에서 우리는 다음과 같은 definition을 내릴 수 있다. diffraction-limit system은 entrance pupil에 impinging 하는 perfect spherical wave를 exit pupil에서 나오는 perfect spherical wave로 convert 하는 system이다. 모든 system의 aberration, defocus, scatter와 같은 real effect는 perfect exiting sphericity로부터의 deviation을 represent 한다.

 

만약 우리가 Source point $(x_o. y_o)$에 focus 한 perfect spherical wave를 가지고 있다고 가정한다면, diffraction-limit system은 그 wave를 image point $(M_{x_o}, M_{y_o})$에 focus를 맞춘 새로운 spherical wave로 convert 할 것이다. 우리는 이미 이 exit pupil에서 image plane으로의 Fresnel diffraction이 다음의 impulse response를 일으킨다는 것을 배웠다.

 

$$\tilde{h}\left(x_{i}, y_{i}\right)=\iint P\left(\lambda d_{i} \tilde{x}, \lambda d_{i} \tilde{y}\right) e^{-j 2 \pi\left(x_{i} \tilde{x}+y_{i} \tilde{y}\right)} d \tilde{x} d \tilde{y}$$

 

위 수식에서 $P(x,y)$는 exit pupil(더 자세하게는 exit pupil이 principal surface으로 projection 되는 것)을 설명하고, $d_i$는 principal surface에서 측정된 image distance이고, $\tilde{x} = x/(\lambda d_i),\tilde{y} = y/(\lambda d_i)$는 pupil plane의 scaled coordinate이다.