본 게시물은 University of Arizona의 Prof. J. Scott Tyo의 OPTI512R 강의를 보고 정리한 내용입니다.
전공자가 아닌 만큼 부정확한 정보가 포함되어 있을 수 있습니다.
부정확한 정보가 있다면 알려주시면 감사하겠습니다.
Frequency Response of A Differanciation Limitied Coherent Optical Imaging System
앞서 우리는 Coherent system이 field amplitude에서 linear 하며, complex 하다는 것을 보았다. 또한 우리는 Convolution equation으로 정의된 LSI System을 구성하였다.
$$u_i(x_i, y_i) = \int\int \tilde{h} (x_i - \tilde x_o, y_i - \tilde y_o)u_g(\tilde x_o, \tilde y_o)d\tilde x_o d\tilde y_o$$
여기서 $u_g(x,y) = (1/M) u_o(x/M, y/M)$는 Geometric optics에 의해 predict 되는 perfect image이다. System이 LSI이기 때문에, transfer function과 frequency domain analysis를 활용할 수 있을 것으로 예상한다.
다음과 같은 Frequency spectra를 정의하자. Geometric optics에 의해 predict 된 (complex) image의 2D Fourier Transform은 다음과 같다.
$$U_g(\xi,\eta) = \int \int u_g(\tilde x_o, \tilde y_o) exp\{−j2\pi(\xi x + \eta y)\} d\tilde x_o d\tilde y_o$$
Image의 2D Fourier Transform은 다음과 같다.
$$U_i(\xi,\eta) = \int \int u_i(x_i, y_i) exp \{−j2\pi(\xi \tilde x + \eta \tilde y)\} dx_idy_i$$
최종적으로 우리는 다음과 같은 Impulse response의 Fourier Transform을 가지게 된다.
$$H(\xi,\eta) = \int \int \tilde h(x, y) exp \{−j2\pi (\xi x + \eta y)\} dxdy$$
앞서 정의한 Convolution theorem을 사용하여 다음과 같이 정리할 수 있다.
$$U_i(\xi,\eta) = H(\xi,\eta)U_g(\xi,\eta)$$
우리는 $H(\xi, \eta)$ function을 diffraction-limited imaging sytstem의 coherent transfer function이라고 부를 수 있다. 또한 우리는 Lecture 20에서 $\tilde h$를 다음과 같이 정의하였다.
$$\tilde h = \mathcal{F} \{P(\lambda d_i \tilde x, \lambda d_i \tilde y)\}$$
이를 이용하여 우리는 coherent transfre function을 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$H(\xi, \eta) = \mathcal{F} \{ \mathcal{F} \{P(\lambda d_i \tilde x, \lambda d_i \tilde y)\} \} \\ = P(-\lambda d_i \xi, \lambda d_i \eta)$$
위 수식은 exit pupil의 transfer function의 shape가 coherent transfer function과 같다는 결과를 보여준다. 모든 pupil function은 fundamental 하게 size가 limit 되기 때문에 모든 optic system은 결국 geometrical optics image에 대해 low-pass operation을 수행하여 fundamentally finite resolution을 가지게 된다.
Examples of Coherent Transfer Function
1. Retangular Aperture
다음과 같은 Pupil function을 고려하자.
$$P(x,y) = cyl({r \over L})$$
이때 우리는 다음과 같은 결과를 가진다.
$$H(\xi,\eta) = rect({\lambda d_i \xi \over L}, {\lambda d_i \eta \over L}) \\ (\tilde h)(x_i, y_i) = \bigg ( {L \over \lambda d_i}\bigg )^2 sinc \bigg ( {Lx_i \over \lambda d_i}\bigg ) sinc \bigg ( {Ly_i \over \lambda d_i}\bigg )$$
이 pupil은 다음의 frequency를 cutoff 하는 low-pass filter이다.
$$\xi = {L \over 2\lambda d_i}, \eta = {L \over 2\lambda d_i}$$
2. Circular Pupil
다음과 같은 Pupil function을 고려하자.
H(\xi, \eta) = cyl({\lambda d_i \rho \over L}) \\ \tilde h(x_i, y_i) = Lsomb({L r_i \over \lambda d_i})
마찬가지로, 이 pupild은 다음의 frequency를 cutoff 한다.
$$\rho = \sqrt{\xi^2 + \eta^2} = {L \over 2\lambda d_i}$$
Intensity Distribution of an Incoherent Optical Imaging System
우리는 coherent imaging system을 위해 system의 pupil function이 frequency response와 직결된다는 것을 보았다. 이는 Plane 간의 Fourier relationship과 problem이 field amplitude에서 linear 하다는 사실 때문이다. Incoherent imaging system이 좀 더 complicated 하다는 것을 이제 알게 될 것이다.
Coherent system에 대해 수행한 analysis는 Incoherent system에 대해서도 여전히 적용 가능하며, Incoherent Analysis의 starting point가 될 것이다. 우리는 Image plane에 field를 다음과 같이 쓴다.
$$\begin{aligned}
u_{i}\left(x_{i}, y_{i}\right) &=\iint \tilde{h}\left(x_{i}-\tilde{x}_{o}, y_{i}-\tilde{y}_{o}\right)\left[\frac{1}{M} u_{o}\left(\frac{\tilde{x}_{o}}{M}, \frac{\tilde{y}_{o}}{M}\right)\right] d \tilde{x}_{o} d \tilde{y}_{o} \\
&=\tilde{h}\left(x_{i}, y_{i}\right) * u_{g}\left(x_{i}, y_{i}\right)
\end{aligned}$$
Field가 Incoherent 하기 때문에, Image plane에 Intensity를 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$\begin{aligned}
I_{i}\left(x_{i}, y_{i}\right) &=\left|u\left(x_{i}, y_{i}\right)\right|^{2}=\left\langle u_{i}\left(x_{i}, y_{i}\right) u_{i}^{*}\left(x_{i}, y_{i}\right)\right\rangle \\
&=\left\langle\left[\iint_{\tilde{x}_{o}, \tilde{y}_{o}} \tilde{h}\left(x_{i}-\tilde{x}_{o}, y_{i}-\tilde{y}_{o}\right) u_{g}\left(\tilde{x}_{o}, \tilde{y}_{o}\right) d \tilde{x}_{o} d \tilde{y}_{o}\right]\left[\iint_{\tilde{\tilde{x}}_{o}, \tilde{y}_{o}} \tilde{h}\left(x_{i}-\tilde{\tilde{x}}_{o}, y_{i}-\tilde{\tilde{y}}_{o}\right) u_{g}\left(\tilde{\tilde{x}}_{o}, \tilde{\tilde{y}}_{o}\right) d \tilde{\tilde{x}}_{o} d \tilde{\tilde{y}}_{o}\right]\right.^* \bigg >
\end{aligned}$$
위 수식에서 우리는 integration의 두 가지 dummy variable $(\tilde{x}_{o}, \tilde{y}_{o})$과 $(\tilde{\tilde{x}}_{o}, \tilde{\tilde{y}}_{o})$을 사용하였다. Integral을 수행할 때 이들을 섞지 않는 것이 중요하다. Impulse response $\tilde h$는 random variable이 아니지만, geometrical optics image $u_g(\tilde{x_o}, \tilde_{y_o})$는 object plane에서 amplitude와 phase의 random variation으로 인해 발생하기 때문에 expectation operator를 integral의 내부로 이동할 수 있다. 이렇게 하면 다음의 결과를 얻는다.
$$\begin{aligned}
I_{i}\left(x_{i}, y_{i}\right) &=\iiint \int \tilde{h}\left(x_{i}-\tilde{x}_{o}, y_{i}-\tilde{y}_{o}\right) \tilde{h}^{*}\left(x_{i}-\tilde{\tilde{x}}_{o}, y_{i}-\tilde{\tilde{y}}_{o}\right)\left\langle u_{g}\left(\tilde{x}_{0}, \tilde{y}_{o}\right) u_{g}^{*}\left(\tilde{\tilde{x}}_{0}, \tilde{\tilde{y}}_{o}\right)\right\rangle d \tilde{x}_{o} d \tilde{y}_{o} d \tilde{\tilde{x}}_{o} d \tilde{\tilde{y}}_{o} \\
&=\iiint \int \tilde{h}\left(x_{i}-\tilde{x}_{o}, y_{i}-\tilde{y}_{o}\right) \tilde{h}^{*}\left(x_{i}-\tilde{\tilde{x}}_{o}, y_{i}-\tilde{\tilde{y}}_{o}\right) I_{g}\left(\tilde{x}_{o}, \tilde{y}_{o}\right) \delta\left(\tilde{x}_{o}-\tilde{\tilde{x}}_{o}, \tilde{y}_{o}-\tilde{\tilde{y}}_{o}\right) d \tilde{x}_{o} d \tilde{y}_{o} d \tilde{\tilde{x}}_{o} d \tilde{\tilde{y}}_{o} \\
&=\iint \tilde{h}\left(x_{i}-\tilde{x}_{o}, y_{i}-\tilde{y}_{o}\right) \tilde{h}^{*}\left(x_{i}-\tilde{x}_{o}, y_{i}-\tilde{y}_{o}\right) I_{g}\left(\tilde{x}_{o}, \tilde{y}_{o}\right) d \tilde{x}_{o} d \tilde{y}_{o} \\
&=\iint\left|\tilde{h}\left(x_{i}-\tilde{x}_{o}, y_{i}-\tilde{y}_{o}\right)\right|^{2} I_{g}\left(\tilde{x}_{o}, \tilde{y}_{o}\right) d \tilde{x}_{o} d \tilde{y}_{o} \\
&=\left|\tilde{h}\left(x_{i}, y_{i}\right)\right|^{2} * I_{g}\left(x_{i}, y_{i}\right) .
\end{aligned}$$
위 수식은 놀라운 결과를 제공한다. Incoherent illumination을 사용하는 optical system의 경우, Problem은 Intesity의 LSI system이며, intensity impulse response는 cohernet impulse response의 square인 $|\tilde h (x_i - \tilde x_o, y_i - \tilde y_o)|^2$으로 주어진다.
Frequency Response of a Diffraction Limited Incoherent Optical System
Frequency domain에서 Incoherent system을 describe 할 때, 모든 description을 normalized quantitiy로 만드는 것이 일반적이다. 이러한 방식으로 다음의 Frequency spectral을 define 한다.
$$\mathcal{G}_{g}(\xi, \eta)=\frac{\iint I_{g}(x, y) e^{-j 2 \pi(\xi x+\eta y)} d x d y}{\iint I_{g}(x, y) d x d y}$$
이는 Geometrical optics에 의해 predict 된 image의 frequency sperctrum이다. 마찬가지로
$$\mathcal{G}_{i}(\xi, \eta)=\frac{\iint I_{i}(x, y) e^{-j 2 \pi(\xi x+\eta y)} d x d y}{\iint I_{i}(x, y) d x d y}$$
이고, 이는 diffraction에 의해 predict 된 actual image frequency spectrum이다. transfer function을 위해 OTF(optical transfer function)을 다음과 같이 define 한다.
$$\begin{aligned}
\mathcal{H}(\xi, \eta) &=\frac{\iint|\tilde{h}(x, y)|^{2} e^{-j 2 \pi(\xi x+\eta y)} d x d y}{\iint|\tilde{h}(x, y)|^{2} d x d y} \\
&=\frac{\mathcal{F}\left\{|\tilde{h}|^{2}\right\}}{\left.\mathcal{F}\left\{|\tilde{h}|^{2}\right\}\right|_{\xi=0, \eta=0}}
\end{aligned}$$
반면 Coherent transfer function은 $H(\xi, \eta) = \mathcal{F} \bigg \{ \tilde h (x,y)\bigg \}$이고, Incoherent imaging에 대한 optical transfer function은 $\mathcal{H}(\xi, \eta) \propto \mathcal{F} \bigg \{ |\tilde h (x,y)|^2\bigg \}$이다. OFT는 $\xi = 0, \eta = 0$에서의 response에 비해 frequency $(\xi, \eta)$에서 system의 response를 제공한다. 이러한 정의와 $|\tilde h(x_i, y_i)|^2 ∗ I_g(x_i, y_i)$를 사용해 우리는 다음을 작성할 수 있다.
$$\mathcal{G}_i (\xi, \eta) = \mathcal{H}(\xi, \eta)\mathcal{G}_g(\xi, \eta)$$
OFT의 magnitude $|\mathcal{H}(\xi,\eta)|$는 modulation transfer function혹은 MTF라고 불린다.
1.Properties of the OTF
OTF에는 definition에서 derive 된 몇 가지 property가 존재한다. 일부 매우 중요한 property는 다음과 같다.
1. $\mathcal{H}(0,0) = 1$. 이 property는 OTF definition에서의 normalization의 consequence이다.
2. $\mathcal{H}(\xi,\eta) = \mathcal{H}^*(-\xi,-\eta)$. OTF의 Hermitian symmetry는 $|\tilde h (x,y)|^2$가 real function임을 guarantee 한 사실의 consequence이다.
3. $|\mathcal{H}(\xi,\eta)| \leq |\mathcal{H}(0,0)| = 1$. 이는 autocorrelation function의 property이다.
OTF of an Aberration-Free Optical System
Illustration의 목적상, 우리는 고려중인 optical system의 pupil function이 binary라고 가정할 것이다. 즉, pupil이 open 된 경우 $P(x,y) =1$이고, pupil이 Close인 경우 $p(x,y) = 0$이다. 우리는 system의 coherent 한 transfer function이 pupil function의 aspect에서 다음과 같이 작성될 수 있다는 것을 알고 있다.
$$H(\xi, \eta) = P(-\lambda d_i \xi, -\lambda d_i \eta)$$
이를 이용해 우리는 앞서 정의한 $\mathcal{H}(\xi, \eta)$를 다음과 같이 정리할 수 있다
$$\mathcal{H}(\xi, \eta)=\frac{\iint P\left(-\lambda d_{i} \xi^{\prime},-\lambda d_{i} \eta^{\prime}\right) P\left(-\lambda d_{i}\left(\xi^{\prime}-\xi\right),-\lambda d_{i}\left(\eta^{\prime}-\eta\right)\right) d \xi^{\prime} d \eta^{\prime}}{\iint P\left(-\lambda d_{i} \xi^{\prime},-\lambda d_{i} \eta^{\prime}\right) d \xi^{\prime} d \eta^{\prime}}$$
위 수식은 아래 그림을 참조하여 해석할 수 있다. Denominator는 단순히 normalized spatial frequency coordinate에 integrate 된 pupil의 open area이다. 반면, numerator는 binary pupil의 autocorrelation function에 의해 define 된다. 그러므로 numerator는 OTF를 evaluating 하는 specific spatial frequency pair $(\xi, \eta)$에 의해 결정되는 pupil function과 pupil function의 shifted version 사이의 overlapping area이다. 분명히, maximum radius 밖에서 0인 pupil의 경우 OTF는 결국 0으로 떨어지며, Optical system을 통과할 수 있는 maximum spatial frequency에 limit을 제공한다.
1. OTF for a Square Exit Pupil
다음과 같이 define 된 width L의 exit pupil을 가진 sytstem을 고려해보자.
$$P(x,y) = rect({x \over L, $y \over L$})$$
이 function은 rectangular coordinate로 구분할 수 있으므로, 두 one dimensioanl rect function의 correlation을 별도로 고려할 수 있다. x-direction과 y-direction의 overlapping area는 다음과 같다.
$$\begin{aligned}
\ell_{x} &= \begin{cases}\frac{L}{2}-\left(\lambda d_{i}|\xi|-\frac{L}{2}\right)=L-\lambda d_{i}|\xi| & |\xi| \leq \frac{L}{\lambda d_{i}} \\
0 & |\xi|>\frac{L}{\lambda d_{i}}\end{cases} \\
\ell_{y} &= \begin{cases}\frac{L}{2}-\left(\lambda d_{i}|\eta|-\frac{L}{2}\right)=L-\lambda d_{i}|\eta| & |\eta| \leq \frac{L}{\lambda d_{i}} \\
0 & |\eta|>\frac{L}{\lambda d_{i}}\end{cases} \\
A_{\text {overlap }} &=\ell_{x} \ell_{y}= \begin{cases}L^{2}\left(1-\frac{\lambda d_{i}|\xi|}{L}\right)\left(1-\frac{\lambda d_{i}|\eta|}{L}\right) & |\xi| \leq \frac{L}{\lambda d_{i}},|\eta| \leq \frac{L}{\lambda d_{i}} \\
0 & \text { else }\end{cases}
\end{aligned}$$
Pupil의 total area는 Denominator에서 normalization을 위한 $L_2$이다. Resulting OTF는 아래 그림에 표시된다.
흥미롭게도, 이 경우 우리는 $|\tilde h_2|^2$의 Fourier Transform을 직접 고려할 수 있다. 우리는 이 경우에 Coherent impulse response가 다음과 같다는 것을 알고 있다.
$$\tilde h(x,y) = {L^2 \over (\lambda d_i)^2}sinc \bigg ( {x \over \lambda d_i}, {y \over \lambda d_i}\bigg)$$
이때, OTF는 다음과 같이 주어지고, 위 그림의 result와 완전히 일치한다.
$$\begin{aligned}
\mathcal{H}(\xi, \eta)=& \frac{\mathcal{F}\left\{\frac{L^{4}}{\left(\lambda d_{i}\right)^{4}} \operatorname{sinc}\left(\frac{x L}{\lambda d_{i}}, \frac{y L}{\lambda d_{i}}\right)^{2}\right\}}{\left.\mathcal{F}\left\{\frac{L^{4}}{\left(\lambda d_{i}\right)^{4}} \operatorname{sinc}\left(\frac{x L}{\lambda d_{i}}, \frac{y L}{\lambda d_{i}}\right)\right\}^{2}\right|_{\xi=0, \eta=0}} \\
&=\frac{\frac{L^{2}}{\left(\lambda d_{i}\right)^{2}} \operatorname{tri}\left(\frac{\lambda d_{i} \xi}{L}, \frac{\lambda d_{i} \eta}{L}\right)}{\frac{L^{2}}{\left(\lambda d_{i}\right)^{2}}} \\
&=\operatorname{tri}\left(\frac{\lambda d_{i} \xi}{L}, \frac{\lambda d_{i} \eta}{L}\right)
\end{aligned}$$
2. OTF for a Circular Exit Pupil
같은 방법으로, 우리는 Circular exit pupil의 OTF를 계산할 수 있다. Rectangular Pupil의 경우와 마찬가지로, 우리는 coherent Impulse response를 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$\begin{aligned}
\tilde{h}(x, y) &=\mathcal{F}\left\{\operatorname{cyl}\left(\frac{\lambda d_{i} \rho}{L}\right)\right\} \\
&=\frac{\pi L^{2}}{4 \lambda^{2} d_{i}^{2}} \operatorname{somb}\left(\frac{L r}{\lambda d_{i}}\right) .
\end{aligned}$$
우리는 OTF를 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$\mathcal{H}(\xi, \eta)=\frac{\mathcal{F}\left\{\pi^{2}\left(\frac{L}{2 \lambda d_{i}}\right)^{4} \operatorname{somb}\left(\frac{L r}{\lambda d_{i}}\right)^{2}\right\}}{\frac{\pi L^{2}}{4}}$$
이때, $mathcal{H}$는 다음과 같다.
$$\mathcal{H}= \begin{cases}\frac{2}{\pi} \cos ^{-1}\left(\frac{\rho \lambda d_{i}}{L}\right)-\frac{\rho \lambda d_{i}}{L} \sqrt{1-\left(\frac{\rho \lambda d_{i}}{L}\right)^{2}} & \rho \leq \frac{L}{\lambda d_{i}} \\ 0 & \text { else }\end{cases}$$
이 OTF는 아래 그림에 plot 되어 있다.
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